PROBABILIDAD


PROBABILIDAD
En esta primera mitad del curso estudiaremos algunos conceptos elementales de la teorıa matemática de la probabilidad. Esta teorıa tuvo como uno de sus primeros puntos de partida el intentar resolver un problema particular concerniente a una apuesta de juego de dados entre dos personas. El problema al que nos referimos involucraba una gran cantidad de dinero y puede plantearse dela siguiente forma: Dos jugadores escogen cada uno de ellos un numero del 1 al 6, distinto uno del otro, y apuestan 32 doblones de oro a que el numero escogido por uno de ellos aparece en tres ocasiones antes que el numero del contrario al lanzar sucesivamente un dado. Suponga que el número de uno de los jugadores ha aparecido dos veces y el número del otro una sola vez. ¿Como debe dividirse eltotal de la apuesta si el juego se suspende? Uno de los apostadores, Antonio de Gombaud, popularmente conocido como el caballero De Mere, deseando conocer la respuesta al problema plantea a Blaise Pascal (1623-1662) la situacion. Pascal a su vez consulta con Pierre de Fermat (1601- 1665) e inician un intercambio de cartas a propósito del problema. Esto sucede en el año de 1654. Con ello se inicianalgunos esfuerzos por dar solución a ´este y otros problemas similares que se plantean. Con el paso del tiempo se sientan las bases y las experiencias necesarias para la búsqueda de una teorıa matemática que sintetice los conceptos y los métodos de solución de los muchos problemas particulares resueltos a lo largo de varios años.
Introducción La teoría de la probabilidad es la parte de lasmatemáticas que se encarga del estudio de los fenómenos o experimentos aleatorios. Por experimento aleatorio entenderemos todo aquel experimento que cuando se le repite bajo las mismas condiciones iníciales, el resultado que se obtiene no siempre es el mismo. El ejemplo más sencillo y cotidiano de un experimento aleatorio es el de lanzar una moneda o un dado, y aunque estos experimentos pueden parecer muymodestos, hay situaciones en donde se utilizan para tomar decisiones de cierta importancia.
Sabemos cual sería el resultado del experimento aleatorio, así que por lo menos conviene agrupar en un conjunto a todos los resultados posibles. El espacio muestra (o también llamado espacio muestra de un experimento aleatorio es el conjunto de todos los posibles resultados del experimento, y se le denotageneralmente por la letra griega Ω (omega). Más adelante mostraremos que este conjunto no es necesariamente ´único y su determinación depende del interés del observador o persona que realiza el experimento aleatorio. En algunos textos se usa también la letra S para denotar al espacio muestra. Esta letra proviene del termino sampling space de la lengua inglesa equivalente a espacio muestra. Porotro lado, llamaremos evento a cualquier subconjunto del espacio muestra y denotaremos a los eventos por las primeras letras del alfabeto en mayúsculas: A, B, C, etc. Con la ayuda de algunos ejemplos ilustraremos a continuación los conceptos de espacio muestra y evento.
Ejemplo. Si un experimento aleatorio consiste en lanzar un dado y observar el numero que aparece en la cara superior, entoncesclaramente el espacio muestra es el conjunto Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Como ejemplo de un evento para este experimento podemos definir el conjunto A = {2, 4, 6}, que corresponde al suceso de obtener como resultado un numero par. Si al lanzar el dado una vez se obtiene el número “4”, decimos entonces que se observo la ocurrencia del evento A, y si se obtiene por ejemplo el resultado “1”, decimos que nose observo la ocurrencia del evento A.
Ejemplo. Considere el experimento aleatorio de participar en un juego de loterıa. Suponga que hay un mill´on de números en esta loterıa y un jugador participa con un boleto. ¿Cual es un posible espacio muestra para este experimento? Naturalmente al jugador le interesa conocer su suerte en este juego y puede proponer como espacio muestra el conjunto Ω =...