Probabilidad

TEOREMAS

TEOREMA 1. Si f es un evento nulo o vacío, entonces la probabilidad de que ocurra f debe ser cero.

p(f)=0


Ejemplo : La probabilidadde que un estudiante sea mujer es "1 menos la probabilidad de que no sea varón".

DEMOSTRACIÓN:
Si sumamos a f un evento A cualquiera, como f y A son doseventos mutuamente excluyentes, entonces p(AfÈ)=p(A) +p(f)=p(A). LQQD

TEOREMA 2. La probabilidad del complemento de A, Ac debe ser,

p(Ac)= 1 – p(A).DEMOSTRACIÓN:
Si el espacio muestral d, se divide en dos eventos mutuamente exclusivos, A y Ac luego d=AÈAc, por tanto p(d)=p(A) + p(Ac) y como en elaxioma dos se afirma que p(d)=1, por tanto, p(Ac)= 1 - p(A) .LQQD

TEOREMA 3. Si un evento A Ì B, entonces la p(A) £ p(B).

DEMOSTRACIÓN:
Si separamos elevento B en dos eventos mutuamente excluyentes, A y B \ A (B menos A), por tanto, B=AÈ(B \ A) y p(B)=p(A) +p(B \ A), luego entonces si p(B \ A)³0 entonces secumple que p(A)£p(B). LQQD

TEOREMA 4. La p( A \ B )= p(A) – p(AÇB)

DEMOSTRACIÓN: Si A y B son dos eventos cualquiera, entonces el evento A se puedeseparar en dos eventos mutuamente excluyentes, (A \ B) y AÇB, por tanto, A=(A \ B)È(AÇB), luego p(A)=p(A \ B) + p(AÇB), entonces, p(A \ B) = p(A) – p(AÇB).LQQD

TEOREMA 5. Para dos eventos A y B, p(AÈB)=p(A) + p(B) – p(AÇB).

DEMOSTRACIÓN:
Si AÈB = (A \ B) È B, donde (A \ B) y B son eventos mutuamenteexcluyentes, por lo que p(A È B) = p(A \ B) + p(B) y del teorema anterior tomamos que p(A \ B) = p(A) – p(AÇB), por tanto, p(AÈB) = p(A) + p(B) – p(AÇB). LQQD