Probabilidades de transición estacionaria de estados estables.

4.8 Probabilidades de transición estacionaria de estados estables.
[pic]

Teorema
    Sea P la matriz de transición de una cadena de M estados . Existe entonces un vector [pic] tal que
 [pic]Se establece que para cualquier estado inicial i , [pic] .
El vector [pic] a menudo se llama distribución de estado estable, o también distribución de equilibrio para la cadena de Markov. Paraencontrar la distribución de probabilidades de estacionario para una cadena dada cuya matriz de transición es P, según el teorema, para n grande y para toda i , [pic] (1)
Como Pij (n + 1) = ( renglón i dePn )(columna j de P), podemos escribir
[pic](2)
[pic] [pic]
  Ejemplo :
    Suponga que toda la industria de refrescos produce dos colas. Cuando una persona ha comprado la cola 1, hay unaprobabilidad de 90 % de que su siguiente compra se de cola 1. Si una persona compró cola 2, hay un 80 % de probabilidades que su próxima compra sea de cola 2.
[pic]
Entonces : [pic]
Al reemplazar la segundaecuación por la condición [pic] ,
obtenemos el sistema [pic]
Al despejar  resulta que [pic] Por lo tanto, después de largo tiempo, hay probabilidad 2/3 de que una persona dada compre cola 1 y 1/3de probabilidad de que una persona compre cola 2.

4.9 Tiempos de primer paso.
[pic]
    Con frecuencia es conveniente poder hacer afirmaciones en términos de probabilidades sobre el número detransiciones que hace el proceso al ir de un estado i a un estado j por primera vez . este lapso se llama tiempos de primer paso al ir del estado i al estado j. cuando J=i, esta tiempo de primer paso esjusto el número de transiciones hasta que el proceso regresa al estado inicial i. En este caso, el tiempo de primer paso se llama tiempo de recurrencia para el estado i.
 Para ilustrar estasdefiniciones, reconsidérese el ejemplo siguiente :
 
Una tienda de cámaras tiene en almacén un modelo especial de cámara que se puede ordenar cada semana. Sean D1, D2, ... las demandas de esta cámara...