Problema 28

PROBLEMA 28
APARTADO a
3

Todas las variables se expresarán en 10 kw y van referidas a un mes. Definimos:
Xi: Consumo doméstico en el pueblo i-ésimo de la provincia A, I=1, 2, …,50,
2
σ=Var(Xi)=18, i=1,2, …n.

n=50, con µ=E(Xi)=14,

50

X: Consumo doméstico en la provincia A, X = ∑ Xi , según el Teorema Central del Límite (muchas variables con
i =1

la misma distribución, con media yvariancia finitas y suponiéndolas independientes):

X → N(nµ, nσ2 == N(50 ⋅ 14, 50 ⋅ 18 ) = N(700, 900 )
Sea Y: Consumo doméstico en la provincia B. Y ∼ N(500, 20) . Por otra parte nos dicen que

ρX,Y =0.9, ρ X,Y =

σXσY
⇒ σ X,Y = ρ X,Y σ X σ Y = 0.9 ⋅ 30 ⋅ 20 = 540 , con lo que el vector de medias y la matriz de
σ X,Y

variancias y covariancias del vector aleatorio (X, Y) son

 µ X   700 
µ==

 µ Y   500 

y

 σ2X σ X,Y   900
=
Σ=
2 
σ
 X,Y σ Y   540

540 

400 

APARTADO b
El consumo total es la suma del doméstico mas el industrial. Sean TA y TB los consumos totalesde A y B
respectivamente: TA=X+ 1100 y TB=Y+900, ambas son Normales por serlo X e Y; se ha practicado cambios de
origen en ambas variables, que sólo afectan a sus medias. Se producirá apagón siTA+TB>3300. TA+TB es normal
por ser suma (combinación lineal) de Normales.
E(TA+TB)=E(TA)+E(TB)=700+1100+500+900=3200
Var(TA+TB)=VAR(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X, Y)=900+400+2·540=2380 (la covarianciatampoco se ve afectada
por los cambios de origen). Por tanto
3300 − 3200
TA + TB ∼ N(3200, 2380 ) y P(TA + TB > 3300) = 1 − P(TA + TB ≤ 3300) = 1 − P(Z ≤
) = 1 − P(X ≤ 2.05) =
2380
= 1 − FZ (2.05) = 1 −0.9708 = 0.0202
APARTADO c
Los importes de la factura eléctrica en A y B son, respectivamente, 0.3TA y 0.4TB, ambos Normales por serlo TA y
TB. Se ha practicado un cambio de escala en cadavariable, que afecta a las medias, a las variancias y a la
covariancia. Hay que calcular P(0.3TA >0.4TB)=P(0.3TA-0.4TB>0). 0.3TA-0.4TB es Normal por ser combinación
lineal de Normales.
E(0.3TA-0.4TB)=...