problemario calculo integral

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ciencias básicas

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INDICE
CAPITULO I………………………………………………. 1
1.1.- ANTIDERIVADAS…………………………………………….. 1
EJERCICIO 1.1………………………………………………… 2
1.2.- INTEGRAL DEFINIDA Y CAMBIO DE VARIABLE……….. 3
EJERCICIO 1.2………………………………………………… 5
1.3.- EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO………… 5
EJERCICIO 1.3……………………………………………… 10

CAPITULO II………………………………………... …… 10
2.1.- FUNCIONES LOGARITMONATURAL Y EXPONENCIAL
NATURAL………………………………………………………………..10
EJERCICIO 2.1……………………………………………… 12
2.2.FUNCIONES
EXPONENCIALES
Y
LOGARÍTMICAS
GENERALES……………………………………………………………. 13
EJERCICIO 2.2………………………………………………… 14
2.3.- INTEGRALES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 14
EJERCICIO 2.3………………………………………………… 17
2.4.-INTEGRALES QUE RESULTAN FUNCIONES
TRIGONOMETRICAS
INVERSAS……………………………………………………………… 17EJERCICIO 2.4………………………………………………… 19

CAPITULO III…………………………………………….. 20
3.1.- AREAS…………………………………………………………………20
EJERCICIO 3.1………………………………………………… 25
3.2.- VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCION…………….. 26
EJERCICIO 3.2………………………………………………… 32
3.3.- TRABAJO………………………………………………………... 33
EJERCICIO 3.3……………………………………………….. 37

CAPITULO IV……………………………………….......... 38
4.1.- INTEGRACIÓN PORPARTES………………………………….. 38
EJERCICIO 4.1…………………………………………………. 41
4.2.-INTEGRACIÓN
DE
POTENCIAS
DE
LAS
FUNCIONES
TRIGONOMETRICAS………………………………………………………... 41

i

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EJERCICIO 4.2……………………………………………….. 46
4.3.- SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA………………………… 47
EJERCICIO 4.3……………………………………………….. 50
4.4. FRACCIONES PARCIALES……………………………………. 50
EJERCICIO 4.4……………………………………………….. 52
4.5. EXPRESIONESCUADRÁTICAS………………………………. 53
EJERCICIO 4.5……………………………………………….. 56
4.6. SUSTITUCIONES DIVERSAS………………………………….. 56
EJERCICIO 4.6……………………………………………….. 60

CAPITULO V……………………………………………… 60
5.1. INTEGRALES MULTIPLES……………………………………. 60
EJERCICIO 5.1……………………………………………….. 66

SOLUCIONES IMPARES DE LOS EJERCICIOS…….. 67

ii

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CAPÍTULO I
1.1- ANTIDERIVADAS
F(x) es una antiderivadade f(x) si F’(x) = f(x).
La regla para calcular antiderivadas se deducen de las correspondientes para las
derivadas, por ejemplo:
La antiderivada de Kf(x) donde K es una constante, es KF(x).
La antiderivada de f(x) + g(x) es: F(x) + G(x), donde F’(x) = f(x) y G’(x) = g(x).

x n +1
.
n +1
Si F(x) es una antiderivada de f(x),entonces a F(x) +C se le llama la antiderivada más
general def(x), siendo C cualquier constante.
La antiderivada de f(x) = xn donde n es diferente de –1, es F(x) =

PROBLEMAS RESUELTOS
Hallar la antiderivada más general para las funciones dadas:
1.- f(x) = 3x 4 ,

2.- f(x) = 4 x 5 = x

3.- f(x) =

F(x) =

5
4

4
= 4x−3
x3

4.- f(x) = 8

3 x 4+1
+C
4 +1

,

F(x) =

5
4

,

F(x) =

,

,

5.- f(x) = 3x2-x+2 ,

F(x) =

x+1
+C
5
+1
4

9

,

4 x −3+1
+C ,
− 3 +1

f(x) = 8 x 0

F(x) = 3

3 5
x +C
5

F(x) =

4 4
x +C
9

F(x) = − 2 x −2 + C

, F(x) = 8

x 0+1
+C
0 +1

, F(x) = 8x + C

x3 x2
x2
−
+ 2 x + C , F(x) = x 3 −
+ 2x + C
3
2
2
3

1
6.- f(x) = 2 + 2 x − 1 ,
x

f(x) = x − 2

x −1
x2
+2
− x+C
+ 2 x − 1 , F(x) =
3
−1
2
1
2

−1 4 2
+ x − x+C
x 3
3F(x) =

1

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7.- f(x) = 4 x 3 −

3
+
x

3

f(x) = 4 x 3 − 3 x

x2 ,

−1

2

+ 2t

4

5

+x

2

3

1

2

9

t 3 − 2t + 1
,
t

f(t) = t
7

3

5

2

− 2t

F ( x) = 2t

1

2

+t

−1

f(z) =

F(z) =

x 2 + 5x + 6
,
x+3

2

+

F(t) =

1
+ 4 + 4z 2 ,
z2

(x + 3)(x + 2) ,
x+3

10 9 5 t −3
t+
+t +C
9
3

1
2 7 2 4 32
t − t + 2t 2 + C
7
3

f(z) = z − 2 + 4 + 4 z 2

z −1
z3
+ 4z + 4 + C
3
−1

f(x) =

1

1

2

⎛1
⎞
10.- f(z) = ⎜ + 2 z ⎟ ,
z
⎝
⎠

F(z) =

4z 3
−1
+ 4z +
+C
z
3

f(x) = x + 2 , F(x) =

7

12.- f(x) =

4

27 x ,

3 53
x +c
5

2

t 2
t 2 t 2
−2
+
+C
F(t) =
7
3
1
2
2
2

3...