problemas de optimisacion resueltos

RELACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
Actualizado en el curso 2008/2009
1. Descomponer el número e en dos sumandos positivos de forma que la suma de los
logaritmos neperianos de los sumandos sea máxima. Calcular dicha suma.
Condición: x+y = e, de donde tenemos que y = e-x
Función: S(x,y) = ln(x) + ln(y)
S(x)= ln(x) + ln(e-x)

1
x

S '( x)

1
e x

1

S ''( x)

x

S '( x) 0e
S ''( )
2

1

2

e x

2

e
2

x

8
e2

0

luego, tenemos que es máximo.
La suma pedida será: suma

ln

e
e
ln e
2
2

2 2 ln 2 .

Solución: x = e/2 y la suma S =2-2ln2
2. Calcula dos números que cumplan que al sumarlos resulte 10 y la resta de uno de
ellos menos el inverso del otro sea mínima.

Condición: x + y = 10, de donde y = 10-x
Condición: x + y =10, de donde y = 10-x
La función:
f ( x, y )

1
y

x

1

f ( x)

x

f ( x)

0

f ( x)
f (9)

0

x 2 10 x 1
10 x

f ( x)

2
(10 x) 3

f (11)

10

0

y

x

f ( x)

9, x 11

Es un máximo
Es un mínimo

Solución: x = 11, y = -1

-. 1/30.-

x2

20 x 99
(10 x) 2

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3. En unconcurso se da a cada participante un alambre de dos metros de longitud para
que doblándolo convenientemente hagan con el mismo un cuadrilátero con los cuatro
ángulos rectos. Aquellos que lo logren reciben como premio tantos euros como
decímetros cuadrados tenga de superficie el cuadrilátero construido. Calcula
razonadamente la cuantía del máximo premio que se pueda obtener en este concurso.A(x, y) = x·y (Función Objetivo)
Condición: 2x+2y = 2

y
x
Condición: 2x+2y = 2

x+y = 1

y =1-x
A(x)= x·(1-x) = x-x2

Función Objetivo: A(x, y) = x·y

A´(x)=1-2x
A´(x) = 0
A´´(x) = -2

1-2x = 0

x =1/ 2 m.

A´´(1/2) = -2 < 0

(es un máximo)

Solución: x = 5 dm. e y = 5 dm., siendo Área = 25 dm2.

Cuantía máxima a percibir por el premio = 25 €.
4. Un jardinero disponede 160 metros de alambre que va a utilizar para cercar una
zona rectangular y dividirla en tres partes. Las alambradas de las divisiones deben
quedar paralelas a uno de los lados del rectángulo. ¿Qué dimensiones debe tener la
zona cercada para que su área sea la mayor posible?

y

y

y

y

Condición: 2x+4y = 160

x

Condición: 2x+4y = 160
Función:

A(x, y) = x·y (Funciónobjetivo)

y=

80 x
2

A(x, y) = x·y
-. 2/30.-

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80 x
x2
= 40x2
2
A´(x) = 40-x
A´(x) = 0
A(x) = x·

x = 40 m.

A´´(x) = -1 < 0 (el punto es un máximo)
Para x = 40 m. resulta y =

80 40
2

y = 20 m.

Solución: x = 40 m, y = 20 m.
5. Se dispone de 400 metros de alambrada para vallar un solar rectangular.¿Qué
dimensiones deberá tener el solar para que con esa alambrada se limite la mayor área
posible? Razonar el proceso.

Función: A(x, y) = x·y
Condición: 2x+2y =400

y
x
Condición: 2x+2y =400

x + y =200

y = 200-x

Función: A(x, y)=x·y
A(x) = x·(200-x) = 200x-x2
A´(x) = 200-2x
A´´(x) = -2 < 0

A´(x) = 0

x = 100 m

x = 100 es un máximo, siendo y = 200-100=100

Solución: x= 100 m. e y = 100 m., es un cuadrado
6. Un terreno de forma rectangular tiene 400 m2 y va a ser vallado. El precio del metro
lineal de valla es de 4 euros. ¿Cuáles serán las dimensiones del solar que hacen que el
costo de la valla sea mínimo?

Perímetro del vertedero: P = 2x+2y
400 m

x

2

y

Coste cerca: 4·P = 4(2x)+4(2y) = 8x+8y (función objetivo)
Condición: x·y = 400

-.3/30.-

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Condición: x·y = 400

y=

400
x

Coste cerca: C(x, y) = 8x+8y
400
3200
= 8x+
x
x
3200
C´(x) = 0
x2=400
C´(x) = 8- 2
x
2
C´’(20)= 0.8 > 0
C´´(x) = 3200· 3
x
400
y = 400/20 = 20 m.
Para x = 20 m., siendo y =
x
C(x) = 8x+8

x = ± 20; Solución válida x = 20 m.
Es un mínimo

Solución: Las...