Problemas Ejem2 1

EJERCICIOS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

I. Resolver las ecuaciones:


1.
Solución
Despejamos la incógnita:

2.  
Solución
Agrupamos los términos semejantes y los independientes, y sumamos:

3. 
Solución
Quitamos paréntesis:

Agrupamos términos y sumamos:

Despejamos la incógnita:

4. 
Solución
Quitamos denominadores, paraello en primer lugar hallamos el mínimo común múltiplo.


Quitamos paréntesis, agrupamos y sumamos los términos semejantes:

Despejamos la incógnita:



5. 
Solución
Quitamos paréntesis y simplificamos:

Quitamos denominadores, agrupamos y sumamos los términos semejantes:


6.  
Solución
Quitamos corchete:Quitamos paréntesis:

Quitamos denominadores:

Quitamos paréntesis:

Agrupamos términos:

Sumamos:

Dividimos los dos miembros por: −9



PROBLEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO


1. En el siguiente dibujo todos los autos son iguales:

Determinar el largo decada auto.
Solución: Sea x el largo de cada auto.
De acuerdo a la figura, la ecuación que modela este problema es:
3x + 4 = 2x + 7
Resolviendo esta ecuación se obtiene que x = 3.
Respuesta: Cada auto mide 3 metros.

2. Un farmacéutico debe preparar 15ml de gotas especiales para un paciente con glaucoma. La solución debe tener 2% de ingrediente activo, pero solo tiene disponibles soluciones al 10% yal 1%. ¿Qué cantidad de cada solución debe usar para completar la receta?
Solución:
Sea x = cantidad de ml de la solución al 10%
Para ayudar a entender el problema, se traza un esquema, como el siguiente.



A
B
C
Cantidad de ml en cada caso
x
15 − x
15
Cantidad de ingrediente activo en cada caso
0.1x
0.01(15 − x)
0.02(15)

Luego, la ecuación que modela este problema es:
0.1x + 0.01(15 − x) =0.02 · 15
Resolviendo esta ecuación (lineal) se obtiene que
Respuesta: Se deben usar 1.7ml de la solución al 10% y 8.3ml de la solución al 1%, para obtener 15ml al 2%.

3. Un corredor inicia en el principio de una pista y corre a velocidad constante de 10 Km/h. Cinco minutos después, un segundo corredor comienza en el mismo punto, y su velocidad es de 13 Km/h, siguiendo por la misma pista.¿Cuánto tiempo tardara el segundo corredor en alcanzar al primero?
Solución: Sea t el número de horas que recorre el primer corredor. Como el segundo corredor sale 5 minutos ( horas) después que el primero, el tiempo que recorre el segundo es () horas. Esto conduce a la siguiente tabla.


Velocidad
Tiempo
distancia
Corredores
Km/h
Horas
Km.
Primero
10
t
10t
Segundo
13



Luego, como en el momentoen que el segundo corredor alcanza al primero, ambos han recorrido la misma distancia, la ecuación que modela este problema es:

Resolviendo esta ecuación (lineal) se obtiene que 36horas = 21.6min.
Respuesta: El segundo corredor alcanza al primero en 21.6min, aproximadamente.

4. Una empresa fabrica un producto que tiene costos variables de $6 por unidad y costos fijos de $80. Cada unidad tieneun precio de venta de $10. Determinar el número de unidades que deben vender para que la compañía obtenga utilidades de $60 y calcular el margen por unidad.
Solución: Se tiene que
Utilidades = Ingresos totales − Costos totales
Ingresos totales = Cantidad vendida × precio de venta Costos totales = Costos variables + Costos fijos
Sea q = número de unidades que deben ser vendidas.
Luego el modelopara el problema es:
10q − (6q + 80) = 60

Resolviendo esta ecuación lineal se tiene que:
10q − (6q + 80) = 60
4q − 80 = 60
4q = 140
de donde se obtiene q = 35
Respuesta: Es necesario vender 35 unidades para obtener utilidades de $60.


5. La liquidación de sueldos de un empleado de la empresa ”Bienvenidos!!” es la siguiente:

Sueldo base
................
Isapre (7%)
................
AFP (10 %)...