Problemas Resueltos Teoría de Colas

I.

Suponga que en una estación con un solo servidor llegan en promedio 45 clientes por
hora, Se tiene capacidad para atender en promedio a 60 clientes por hora. Se sabe que
los clientes esperan en promedio 3 minutos en la cola.
Se solicita: a) Tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema. b) Número
promedio de clientes en la cola. c) Número promedio de clientes en el Sistema en unmomento dado.
Solución: Se conoce la siguiente información:
λ= 45 clientes/hora (media de llegada de los clientes)= 45/60 clientes/minutos
µ= 60 clientes/hora (media de servicio a los clientes) = 60/60 clientes/minutos=
Wq = 3 minutos (tiempo promedio de espera de un cliente en la cola)

a) Para calcular el tiempo promedio que un cliente pasa en el Sistema (Ws). Lo
podemos calcular a partirde Wq y µ.
𝟏

𝑾 𝒔 = 𝑾 𝒒 + 𝝁= 3 minutos +

𝟏
𝟏

= 𝟑 + 𝟏 = 𝟒 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔

Es decir en promedio un cliente pasa 4 minutos en el Sistema: distribuidos así 3
minutos pasa esperando en la cola + 1 minutos en servicio.
b) Para calcular el número de clientes en la cola (Lq), usaremos la fórmula siguiente:
Lq= λ Wq.
𝐿 𝑞 = 𝜆 ∗ 𝑊𝑞 =0.75

𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
*
𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

3 minutos = 2.25 clientes.

Esdecir los cálculos nos muestran que en la cola puede haber más de dos clientes
en la cola.
c) Para calcular cual es el número de clientes en la cola (Ls). Lo podemos hacer con la
fórmula: Ls= λ Ws.
𝐿 𝑆 = 𝜆 ∗ 𝑊 𝑆 = 0.75

𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
∗ 4 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 = 3 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

Es decir en promedio hay tres clientes en el sistema, como se nos ha dicho que
solo hay un servidor, sabemos que solo un clientepuede estar en servicio, por lo
que los demás deben estar en la cola. Esto indica que hay dos clientes en espera.

II.

Suponga un restaurante de comidas rápidas al cual llegan en promedio 100 clientes
por hora. Se tiene capacidad para atender en promedio a 150 clientes por hora Se sabe
que los clientes esperan en promedio 2 minutos en la cola Calcule las medidas de
desempeño del sistemaa) ¿Cuál es la probabilidad que el sistema este ocioso?
b) ¿Cuál es la probabilidad que un cliente llegue y tenga que esperar, porque el
sistema está ocupado?
c) ¿Cuál es el número promedio de clientes en la cola?
d) ¿Cuál es la probabilidad que hayan 10 clientes en la cola?
Solución: Se conoce la siguiente información:
λ= 100 clientes/hora (media de llegada de los clientes)= 100/60clientes/minutos
µ= 150 clientes/hora (media de servicio a los clientes) = 150/60 clientes/minutos=
Wq = 2 minutos (tiempo promedio de espera de un cliente en la cola)
a) Para conocer cuál es la probabilidad de que el sistema este ocioso, primero
conoceremos, cual es la probabilidad que esté ocupado o factor de utilización del
sistema.
𝜆 100 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒/ℎ𝑜𝑟𝑎
𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒/ℎ𝑜𝑟𝑎

𝜌 = 𝜇=150

= 0.66 = 66.7%este porcentaje representa tiempo

que el sistema está ocupado. Es decir (1- ρ) representa el tiempo ocioso del
sistema, es decir 1- 0.667= 0.333 = 33.3% el sistema permanece ocioso.
b)

La probabilidad que un cliente llegue y tenga que esperar es suponer que estará
como primer cliente en la cola. Usaremos la fórmula:
𝑛

𝜆
𝜇

𝜆
𝜇

𝜆

𝜆 1

𝑃 𝑛 = (1 − ) ( )

Para nuestro cason=1 y la formula se convierte en:
100

100 1

𝑃1 = (1 − 𝜇) ( 𝜇) = (1 − 150)(150) = (1 − 0.667)(0.667) = 0.222=22.2%
Es decir existe un 22.2% de posibilidad que haya un cliente en la cola
esperando ser atendido.
c) Ahora requerimos calcular el número de clientes en la línea de espera.
𝐿 𝑞 = 𝜆 ∗ 𝑊𝑞 =1.667

𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
*
𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

2 minutos = 3.334 clientes.≈4 clientes en la cola.

Esdecir existe la posibilidad de llegar a tener un promedio de 4 clientes en la línea
de espera.

d) La probabilidad de que hayan 10 clientes en la cola, como hemos visto existe un
promedio de tener hasta 4 clientes en la cola que hayan más de 4 las
probabilidades serán muy pequeñas, para ese cálculo haremos uso de la fórmula
que usamos en el inciso b de este mismo ejemplo.

𝜆
𝜇

𝜆 10
𝜇...