PROBLEMAS RESUELTOS


PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Una caja rectangular de lados a, b y c esta localizada a una distancia d del origen de coordenadas. En la región existe un campo eléctrico que esta dado por la expresión:

Donde las constantes son :  y la distancia d esta en metros. a) Calcule el flujo eléctrico a través de cada tapa.
b) Determine la carga neta que hay en la caja, suponiendo que d = 0,1m ; a = 0,2m; b =0,3m y c = 0,4m.

Solución
Como podemos observar las cuatro caras que son paralelas al eje y, el vector campo es perpendicular a los vectores de áreas, por lo tanto el flujo en estas caras es cero.
El flujo total:

 

 
Así el flujo uno es:


Calcule el flujo en la cara 2 donde x = d + c y posteriormente introduzca los resultados de los flujos 1 y 2 en 4.7 para obtener:



2) Una carga puntual Qse encuentra en el centro de un cubo de lado 2a, como indica la figura. Determine el flujo en una de sus caras.

Solución
Aplicando la ley de Gauss:

Donde Q es la carga total encerrada por el cubo. El cubo tiene seis caras, por lo tanto el flujo en una sola cara será dividiendo el total entre seis, es decir:
 


 
Este resultado se puede obtener aplicando integrales dobles, desarróllelo usted.3) Una línea de carga infinitamente larga, con densidad λ(C/m), atraviesa un cubo de lado a, perpendicularmente a dos de sus caras y por su centro .¿ Cual es el flujo del campo eléctrico que atraviesa cada una de las caras del cubo?

Solución
Solo cuatro caras son atravesadas por las líneas de campo eléctrico. ¿Por qué?
Por lo tanto el flujo en una sola cara es:
 


 
 

4) Se tiene una líneainfinita con densidad de carga uniforma. Determine el campo eléctrico a una distancia r de la línea.

Solución
Aplicando la ley de Gauss, tenemos:

Las superficies de las tapas laterales no entran en la solución del problema. ¿Por qué?

En este caso S es la superficie de envoltura del cilindro imaginario o Gaussiana, desarrollando:


Quedando finalmente:


5 ) Una esfera no conductora de radio a tieneuna densidad de carga por unidad de volumen uniforme. Determine el campo eléctrico dentro y fuera de la esfera.

Solución
a.- Dentro de la esfera
Imaginase una esfera de radio r menor que a. Esta superficie encierra una carga total Q’ que llega hasta r, como podemos observar en la fig. 4.8.a
Aplicando Gauss:

Donde Q'n es la carga total encerrada por la Gaussiana. Calculemos esta carga por elconcepto de densidad volumétrica de carga, es decir , , asi:


Introduciendo en 4.8 tenemos:


b.- Fuera de la esfera
Imaginase una esfera de radio r mayor que a. Esta superficie encierra una carga total Q que llega hasta a, como podemos observar en la fig. 4.8.b
Apliquemos otra vez Gauss:

Calculamos Q por el concepto de densidad:


Introduciendo en 4.9, obtenemos:


Grafique ambos resultados yanalice que ocurre en  r = a

6 ) Una esfera no conductora solida de radio a y carga uniforme Q está ubicada en el centro d una esfera conductora hueca descargada, de radio interior b y exterior c. Halle el valor del campo E en las regiones siguientes:
a) Dentro de la esfera no conductora.
b) Entre la esfera no conductora y la conductora.
c) Dentro de la esfera conductora. d) Fuera de las esferas.
e)¿Cuáles son las densidades de cargas inducidas en las superficies interna y externa de la esfera no conductora?

Solución
Las partes (a) y (b), tienen el mismo resultado que el problema anterior, es decir:


c) Por definición dentro del conductor es cero. Vamos a demostrarlo.
Por inducción en la superficie  r = b aparece una carga –Q , idéntica a la de la esfera no conductora, por lo tanto al pasarla Gaussiana entre b y c nos queda como en la figura y la carga total encerrada por esta es cero, es decir:
 
 



Aplicando Gauss tenemos:



Es decir:




 

 
d.- En la superficie c se induce una carga +Q debido a la presencia de la carga –Q en la superficie b, por lo tanto la carga total es:

Aplicando Gauss tenemos:

Quedando finalmente:


 
e.- La densidad de carga superficial se define...