Procesado De La Señal

La Salle

Caracterización de S.L.I.T. discretos. Respuesta impulsional (PROBLEMAS)
Procesado digital de la señal

Joan Claudi Socoró, Germán Cobo, Xavier Sevillano, Ignasi Iriondo 01/10/2011

Procesado Digital de la Señal

Problema 1
Tenemos un sistema de procesamiento de señal que presenta la siguiente ecuación de cálculo de la salida

yn   2 xn  xn  4  xn  1
a)Demostrad si se trata de un sistema estable. Justificad la respuesta. b) Demostrad si se trata de un sistema lineal. c) Demostrad si se trata de un sistema invariante en el tiempo. d) Demostrad si se trata de un sistema causal.

Solución:
a.- Estable? Un sistema será estable si podemos determinar que para una entrada acotada B x  xn   n , la salida también está acotada B y  yn   n . Segúnel sistema tendríamos que como máximo yn  2 B x  B x  B x  4 B x . Por lo tanto podemos decir que este sistema es estable, ya que podemos ver como para una entrada acotada la salida también lo estará.
b.- Lineal? Para que un sistema sea lineal se ha de cumplir: T ax1 n   bx 2 n  a  T x1 n  b  T x 2 n  Por lo tanto: T ax1 n   bx 2 n   2  ax1 n   bx 2 n  ax1 n  4  bx 2 n  4  ax1 n  1  bx 2 n  1 y a  T x1 n  b  x 2 n  a  2  x1 n  ax1 n  4  ax1 n  1  b  2  x 2 n  bx 2 n  4  bx 2 n  1 Vemos que como coinciden las dos soluciones el sistema es lineal. c.- Invariante en el tiempo?

Caracterización de S.L.I.T. discretos. Respuesta Impulsional.

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yn  n0   2xn  n0   xn  n0  4  xn  n0  1 y1 n   2 x1 n   x1 n  4  x1 n  1
 x1 n  x n  n0 



2 xn  n 0   xn  n0  4  xn  n0  1

El sistema es, por lo tanto, invariante en el tiempo. d.- Causal? El sistema será causal si por toda entrada en un instante n 0 , la salida sólo depende de la entrada para valores n  n0 . En este caso, vemos que el término xn  1no cumple la condición de causalidad, de manera que el sistema no es causal.

Problema 2
Para cada uno de los sistemas discretos siguientes determinad si cumple las propiedades de: (1) Estabilidad, (2) Causalidad, (3) Linealidad, (4) Invariancia en el tiempo, (5) Sin memoria: a) T xn   xng n para a una señal g n  dada b) T xn 
k  n0

 xk 

n

c) T  xn   x n Solución:
a) Estabilidad: yn  T xn  xngn  xn g n  Ax Ag  Ay , es decir, la cota de la salida es igual al
producto de la cota de la entrada por la cota (si tiene) de la señal g n  . Por lo tanto, si

inestable, lo que se puede comprobar entrando una señal acotada como xn   1 , n y observando que yn   g n con lo que la salida no tendría cota. Causalidad: La salidaen el instante n es sólo función de la señal de entrada al mismo instante n, por lo tanto es un sistema causal, ya que no anticipa información de la entrada a la salida. Linealidad:
Caracterización de S.L.I.T. discretos. Respuesta Impulsional. 3

g n  Ag para todo n entonces el sistema es estable. En caso contrario el sistema es

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T  Ax1 n   Bx 2 n   Ax1 n   Bx 2 ng n   Ax1 n g n  Bx 2 n g n   AT  x1 n  BT  x2 n Como podemos comprobar se cumple la propiedad de linealidad para cualesquiera señales x1 n  y x2 n  y constantes A y B.
Invariancia en el tiempo: T xn  m  xn  mg n  xn  mg n  m  yn  m  Por lo tanto, al entrar una entrada desplazada m muestras no observamos lo mismo cuandoentrabamos la misma salida y desplazamos el resultado. Entonces, el sistema no es invariante en el tiempo.

Memoria: Por lo dicho en la demostración de la causalidad el sistema es un sistema sin memoria, ya que el cálculo de la salida en el instante n solo requiere el conocimiento de la entrada al mismo instante n.

b) Estabilidad:

yn 

k  n0

 xk  

n

k  n0



n...