Procesos Aleatorios

Procesos Aleatorios (P.A.)
Promedio en tiempo. Es la medida estad´ ıstica en un tiempo determinado de una funci´n muestral. o Promedio Conjunto. Es el promedio estad´ ıstico de las medidas estad´ ısticas de todas las funciones muestra en un tiempo determinado. Proceso Aleatorio Estacionario. Un proceso es estacionario, cuando las caracter´ ısticas estad´ ısticas de las funciones muestra no variancon respecto al tiempo. • Proceso Aleatorio Estacionario en Sentido Estricto (SSS) Un proceso aleatorio es estacionario en sentido estricto si su estad´ ıstica es invariante ante un corrimiento temporal. fx (x1 , . . . xn , t1 . . . , tn ) = fx (x1 , . . . xn , t1 + c . . . , tn + c) Lo que indica que su densidad de probabilidad conjunta es independiente del tiempo y solo depende de τ = t2 − t1 •Proceso Aleatorio Estacionario en Sentido Amplio (WSS) Un P.A. es estacionario en sentido amplio si su valor promedio (esperanza, media) es constante y su autocorrelaci´n solo depende de la diferencia de o tiempo τ = t2 − t1 E[x(t)] = µx = ctte Rxx (τ ) = E[x(t)x(t + τ )] E[x2 (t)] = Rxx (0) a o Adem´s la autocorrelaci´n se caracteriza por : Rxx (τ ) = Rxx (−τ ) |Rxx (0)| = E[x2 (t)] La gr´fica deRxx (τ ) nos da la informaci´n del comportamiento temporal del a o P.A. Observaciones |Rxx (τ )| ≤ Rxx (0)

EC1421 Se˜ales y Sistemas n

Sept-Dic 2006 - Prof. Cecilia Murrugarra Q.

• Si la densidad de probabilidad conjunta es independiente del tiempo hasta un orden m, se dice que el proceso es estacionario de orden m, lo que incluye la estacionaridad de los ordenes menores. • Si el P.A. esestacionario de orden 1, el valor promedio (E[x(t)]) de la v.a es constante. • Si es de 2 orden adem´s de cumplirse la condici´n anterior la correlaci´n a o o entre dos v.a. depender´, no de la ubicaci´n absoluta sino de la distancia a o entre ellos (τ ). Un proceso SSS es WSS, pero un proceso WSS no necesariamente es SSS.

Promedios Temporales y Ergodicidad. • Ergodicidad de la esperanza o media deuna funci´n muestra x(t) de o un proceso aleatorio X(t) es definido como: 1 x = E[x(t)] = lim ¯ T →∞ T
T /2 ∞

x(t)dt =
T /2 −∞

x(t)f dp(x)dx(t)

• La Autocorrelaci´n de una funci´n muestra es definida como: o o
∞

Rxx (τ ) = E[x(t)x(t + τ )] =
−∞

x(t)x(t + τ )f dp(x)dx

Los valores de x y Rxx (τ ) dependen de la funci´n muestra del P.A. Proceso ¯ ¯ o Erg´dico o Si la naturaleza del P.A. es tal,que los promedios estad´ ısticos conjuntos y los promedios temporales (¯) son iguales, se conoce como Proceso Erg´dico. x o Un proceso estacionario X(t) se conoce como erg´dico en la media s´ o ı: x = E[x(t)] = µx = ctte ¯ Un proceso estacionario X(t) se conoce como erg´dico en la autocorrelaci´n s´ o o ı: E[x(t)x(t + τ )] = Rxx (τ )
EC1421 Se˜ales y Sistemas n Sept-Dic 2006 - Prof. CeciliaMurrugarra Q.

S´ X(t) es erg´dico, todas sus promedios estad´ ı o ısticos pueden determinarse de una funci´n de muestra. o Relaci´n de Par´metros de se˜ ales el´ctricas y los promedios o a n e temporales 1. x = E[x(t)] es igual al nivel DC de la se˜al x(t). ¯ n 2. Rxx (0) = E[x(t)2 ] = x2 es igual a la potencia promedio total de x(t). 3. E[x(t)]2 = x2 es igual a la Potencia DC de x(t). ¯
2 4. σx = E[x2] − E[x]2 es igual a la potencia promedio AC de x(t).

5. σx es el valor RMS de la se˜al x(t). n 6. F {Rxx (τ )} = Sxx (jw) Densidad Espectral de potencia. Densidad Espectral de Potencia DEP S(jw) Un proceso aleatorio es una colecci´n de se˜ales en tiempo, por tanto, no o n podemos calcular la transformada de Fourier del proceso en si mismo, pero podemos obtener una representaci´n del proceso enel dominio de la frecuencia o e si expresamos la transformada de Fourier en t´rminos de un promedio del conjunto de realizaciones. La secuencia de autocorrelaci´n de un proceso o estacionario en sentido amplio (WSS) proporciona una descripci´n en el o dominio del tiempo del momento de segundo orden del proceso. Como R xx (τ ) es una secuencia determin´ ıstica, podemos calcular la transformada de...