Producto Cruz

Necesito demostrar que

u x (v x w) = (u w)v - (u v)w

estamos en el espacio de 3 dimensiones.

Si V y W son paralelos, la igualdad es trivial.

supongamos V y W no paralelos.
VxW es normal al plano formado por V y W
Ux(VxW) es normal a la normal del plano (VxW),
por lo tanto está en el plano
formado por V y W
y se puede expresar como aV + bW.

Si multiplicamos escalarmentepor u y usamos la propiedad
del triple producto vectorial
v1.(v2Xv3) = v3.(v1xv2)
tenemos

Ux(VxW) = aV + bW
U.Ux(VxW) = U.[aV + bW]
U.Ux(VxW) = (VxW).(UxU) = 0

tenemos
a(U.V) + b(U.W) = 0
a = k(U.W)
b = - k(U.V)

tenemos

Ux(VxW) = k[(U.W) V - (U.V) W ]

la constante k queda determinada
eligiendo, p.ej ; i,i,j
versores de los ejes x , x e y
con lo que tenemos k=+1

Esinteresante que el signo
de la fórmula que vincula el producto vectorial
y el escalar se deba determinar con un ejemplo.
El producto vectorial tiene signo dependiente
de la orientación de x,y,z y el producto escalar
es independiente de la orientación.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR:
i) [pic]
ii) [pic]perpendicular a [pic]
iii) [pic]
iv) [pic]siendo [pic]
v) [pic]
Demostraciones:i) Sea [pic]. Entonces [pic]
ii) Si [pic]ángulo entre [pic]y [pic]([pic]) si [pic]y [pic]son perpendiculares.
Si [pic]y [pic]son perpendiculares el ángulo [pic]entre ellos es [pic]
iii) y iv) Son consecuencia de la definición del producto escalar, puesto que son propiedades de los números reales.
La demostración de la propiedad v) es en realidad una comprobación de la igualdad de amboslados.
Cualesquiera que sean los vectores [pic], [pic]y [pic]:
1. [pic], (anticonmutatividad)
2. Si [pic]con [pic]y [pic], [pic]; esto es, la anulación del producto vectorial proporciona la condición de paralelismo entre dos direcciones.
3. [pic].
4. [pic], conocida como regla de la expulsión.
5. [pic], conocida como identidad de Jacobi.
6. [pic], en la expresión deltérmino de la derecha, sería el módulo de los vectores a y b, siendo θ ,el ángulo menor entre los vectores [pic]y [pic]; esta expresión relaciona al producto vectorial con el área del paralelogramo que definen ambos vectores.
7. El vector unitario [pic]es normal

Propiedades

• Como todo producto, el producto vectorial es bilineal, es decir distributivo sobre la adición (de vectores) ymás generalmente sobre la combinación lineal, a la izquierda y la derecha:
(Con la adición) [pic]
(Con el producto por un escalar) [pic]vector denotado [pic]
(Con una combinación lineal, del otro lado) [pic]
• No es conmutativo como el producto de los números usuales (enteros, reales, complejos) sino todo lo contrario: es antisimétrico: [pic], propiedad similar a la del determinante.En particular [pic], del mismo modo que un determinante con dos columnas iguales vale cero.
• Es asociativo (como el producto de matrices y sus determinantes).
• El producto vectorial aparece en los cuaterniones: El producto de dos cuaterniones imaginarios (es decir de parte real nula) tiene como componente imaginario el producto vectorial (y como parte real el producto escalarcambiado de signo).
http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma95-843/lecturas/l843-26.pdf

Definición 0 Consideremos dos vectores a=( a1,a2,a3) y b=( b1,b2,b3) en R3. El producto cruz de a y b denotado por a×b se define como el vector

|a×b= |
|⎢|
|⎢ |
|⎢ |
|a2...