Producto interno

Producto Interno y Ortogonalidad

Indice
8.1. Contexto . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . .
o
8.3. Un producto punto mediante la traza .
8.4. Propiedades del producto punto . . . .
8.5. La norma de una matriz . . . . . . . .
8.6. Propiedades de la norma de matrices .
8.7. Desigualdad de Schwarz . . . . . . . .
8.8. La distancia entre dosmatrices . . . .
´
8.9. Angulo entre matrices . . . . . . . . .
8.10. Ortogonalidad y espacios generados . .
8.11. Bases Ortonormales . . . . . . . . . .
8.12. Existencia de Bases Ortonormales . .
8.13. Proyecci´n ortogonal . . . . . . . . . .
o
8.14. Descomposici´n QR . . . . . . . . . .
o
8.15. Aplicaci´n de la factorizaci´n QR . .
o
o
8.16. Uso de la TI . . . . . . . . . . . . . . .8.1.

Contexto

Hemos mencionado que el problema fundamental del álgebra lineal consiste en resolver un sistema de
´
ecuaciones lineales A x = b y hemos introducido varios conceptos sofisticados para manejar la soluci´n y el
o
an´lisis. El concepto de espacio generado resuelve el problema de la consistencia: El sistema es consistente si
a
y s´lo si b ∈ C(A) (el espacio generado por lascolumnas de A). Otro concepto importante es el concepto
o
de dependencia lineal y resuelve el problema de la unicidad: Si el sistema A x = b es consistente, entonces
A x = b tiene infinitas soluciones si y s´lo si las columnas de A forman un conjunto linealmente dependiente.
o
Los conceptos de dimensi´n y de base de un espacio lineal permiten tener una idea qu´ tan grande es el conjunto
o
esoluci´n y c´mo generarlo: Si el sistema A x = b es consistente, entonces la f´rmula de todas las soluciones es
o
o
o
y = yo + ns(A) donde yo es una soluci´n particular y ns(A) es el espacio nulo de A, es decir, el conjunto de
o
todos los vectores que satisfacen A x = 0. De hecho, si B = {x1 , . . . , xr } es una base para ns(A), entonces
la soluci´n general ser´
o
a
r

y = yo +
i=1ci · x i

y esta ser´ la soluci´n general en su forma m´s reducida posible. El caso consistente ha dado origen a toda la
a
o
a
teor´ que hemos visto hasta ahora. Pasemos ahora a la inconsistencia. De alguna forma debemos cambiar la
ıa
pregunta por que el tema se agot´: Si es A x = b inconsistente, entonces no hay soluci´n. Una forma adecuada
o
o
de reformular la pregunta es: Nohabiendo soluci´n para A x = b, ¿qu´ es lo m´s cerca posible que podemos
o
e
a

estar de una soluci´n? Esto involucra dos conceptos hermanados: distancia y perpendicularidad. Y ellos tienen
o
como origen el concepto de producto interno o producto punto que es el tema de esta lectura.

8.2.

Introducci´n
o

En esta lectura veremos c´mo definir un producto punto o producto interno en espaciosde matrices (pues
o
tenga presente que nos interesa el paso de A x = b a A X = B tambi´n en el caso inconsistente). Veremos
e
que aunque en un principio la definici´n del producto punto apartir del uso de la traza sea extra˜a, esta
o
n
definici´n es de lo m´s c´moda porque hace coincidir el producto punto entre matrices con el producto punto
o
a o
tradicional entre vectores cuando lasmatrices son vectorizadas. La estructura cl´sica de la construcci´n del
a
o
Algebra Lineal referente al producto interno es: definir un producto interno, probar ciertas propiedades b´sicas,
a
estas propiedades incluyen en concepto de ortogonalidad, y entonces mostrar que se puede definir una norma a
partir del producto interno; para llegar la definir una distancia con la norma se requiere probarla desigualdad
de Cauchy-Schwarz. Cuando se dice que se tiene una distancia en el espacio lineal se tiene el concepto de
cercan´ y el de error.
ıa
Las propiedades importantes que deben ser deducidas para que la distancia definida
sea cabalmente una distancia son de identidad (que si la distancia entre dos objetos es cero, entonces los
objetos son id´nticos), de simetr´ (que la distancia...