Produtos Notables

Matemáticas I
Curso Propedéutico


Aula: E-0204








16/ 08/2012
Productos Notables

¿ Qué son?
Productos algebraicos que responden a una regla cuya aplicación
simplifica la obtención del resultado. Estos productos reciben el nombre de productos notables.
Se llama producto notable al que puede ser obtenido sin efectuar la multiplicación término a término.
Su aplicaciónsimplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.
Los productos notables en la vida cotidiana nos ayudan a medir, calcular y contar las áreas del perímetro, también sirven para calcular la superficie del terreno y se puede usar para calcular intensidades en circuitos electrónicos.

Cuadrado de un binomio: Es un trinomio con las siguientes características:
1° término.-Cuadrado del primer término del binomio.
2° término.- Doble producto del primero por el segundo.
3° término.- Cuadrado del segundo término del binomio.

Ejemplos:
〖(2y+3y)〗^2 = 〖(2x)〗^2+ 2 (2x)(3y)+〖(3y)〗^2= 〖4x〗^2+ 12xy+ 〖9y〗^2
〖(3x-4)〗^2= 〖(3x)〗^2 + 2 (3x) (-4) +〖(-4)〗^2 = 〖9x〗^2 - 24x + 16
〖(8x-√2)〗^2 = 〖(x)〗^2 + 2 (x) (-√2 ) +〖(√(2))〗^2= x^2- 2x √2 +2
{ (x+y)+ 2a]^2=〖(x+y)〗^2 +2(x+y) (2a) + 〖2a〗^2= x^2+ 2xy+ y^2+ 4ax+ 〖4a〗^2
〖(10x-5)〗^2= 〖(10x)〗^2+ 2 (10x) (-5) + 〖(-5)〗^2 =〖100x〗^2 – 100x + 25

Cuadrado de un polinomio: Es igual a la suma de los cuadrados de cada término, más la suma algebraica del doble producto de cada término por cada uno de los que le siguen.

Ejemplos:
(2x + 3y-4z-2w) = 4x+ 9y+16z+ 4w+ 2(2x) (3y)+ 2 (2x) (-4z)+ 2(2x) (-2w)+2 (3y) (-4z)+ 2(3y) (-2w)+ 2 (-4z) (-2w)
= 4x +9y +16z+4w+12xy-16xz-8xw- 24yz-12yw+16zw

(x+y+z+w) = x+ y+z+ w+ 2xy+ 2xz+ 2xw+ 2yz+ 2yw+ 2zw
(3m- 5n+2x) = (3m) + (-5n ) + (2x) + 2 (3m)(-5n ) + 2(3m) (2x) +
2(-5n ) (2x)
= 9m+ 25n+ 4x- 30mn+ 12mx- 20nx
(m-n+b-c)=b+c +m +n – 2bc+ 2bm-2bn-2cn+ 2cn-2mn
(a+2b-5c+4d)= a +4b+25c+16d+4ab-10ac+8ad-20bc+ 16bd-40cd

Productos debinomios conjugados: El producto de dos binomios conjugados (suma de dos números por su diferencia), es igual al cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo (diferencia de sus cuadrados).

Ejemplos:
〖(x 〗^(3 )+4y) (x^3- 4y) =〖(3〗^3 )^2-〖(4y)〗^2= x^6- 〖16y〗^2
(5x+4y)(5x-4y)= 〖(5x)〗^2-(4y)^(2 )= 〖25x〗^(2 )-〖16y〗^2
[ ( x+y)+a][(x-y)+a]= 〖(x+y)〗^(2 )–〖(a)〗^2 = x^(2 ) +2xy+ y^2+a^2( 〖4a 〗^(2 )+ √(3)) ( 〖4a 〗^(2 )- √(3)) = (〖4x〗^2) -(√3 ) = 〖16x〗^(4 ) - 3
(〖3w〗^6 - 5z ) 〖(3w〗^6 + 5z )= (〖3w〗^6) – 〖(5z)〗^2 = 〖9w〗^12- 2704

Producto de dos binomios con término común: Es igual al cuadrado del término común, más el producto de término común por la suma algebraica de los no comunes, más el producto de los no comunes.
Ejemplos:
(x+y) (x+z)= (x) + x(y+z)+ (y) (z)=x + xy+ xz +yz
(2x+4) (2x+2)= (2x) + 2x (4+2)+ (2) (4)= 4x + 12x+ 8
(y+4) (y-6)= (y) +y (4-6) + (4) (-6) = y- 2y- 24
(5x-2y) (5x-3)= (5x) +(5x) (-2y-3) + (-2) (-3)= 25x-10xy-15x+6y
(〖√x〗^3+2y) 〖(√x〗^3-6)= 〖(√x〗^3) + 〖(√x〗^3) (2y+6) + (2y) (6)
= x+ 〖√x〗^3 (2y+6) +12y

Cubo de un binomio: Es un polinomio de 4 términos siendo sus características lassiguientes:
1° término: cubo del primer término del binomio.
2° término: triple producto del cuadrado del primero por el segundo.
3° término: triple producto del primero por el cuadrado del segundo.
4° término: cubo del segundo término del binomio.
Ejemplos:
(x+y) = x+ 3xy+ 3xy +y
(x-y) = x- 3xy+3xy-y
(4x + 2y) = 64x + 96xy +48xy +8y
(2a-b) = (2a) + 3 (2a) (-b)+ 3(2a) (-b) + (-b)= 8a-12ab+ 6ab-b
(a-2b) = (a) + 3 (a) (-2b) + 3 (a) (-2b)+ (-2b) = a +3ª-6b +3ª- 6b -8b


(A+B) (A-AB+B) = A+B

6)Producto de expresiones que originan suma de cubos:


Ejemplos:
(2y+1) (4y-2y+1)= 8y + 1
(x+3) (x- 3x+9) = x+27
(3x+2) (9x-6x+4) = 27x+8
(4a+ 6) (16a -24a+36) = 64a + 216
(5x+ 2y) (25x- 10xy+4y) = 125x+8y

Producto de expresiones que originan diferencia de cubos:...