profesor de matematicas

Tema 05: Cónicas, propiedades fundamentales

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Cónicas.
Propiedades fundamentales
5.0 Introducción
La presencia de cónicas en la naturaleza y en el diseño es bastante habitual. En la
práctica se usan por su simplicidad y por que llevan asociada una ecuación matemática
que simplifica el trabajar con ellas.
Algunos ejemplos: las trayectorias de los planetas son elipses siendo el soluno de los
focos y siguiendo las leyes de Kepler. Los cuerpos celestes (planetas y satélites) siguen
trayectorias cónicas, pudiendo ser uno u otro tipo de cónica en función de su velocidad.
Todo cuerpo bajo el campo gravitatorio y prescindiendo del rozamiento con el aire,
sigue una parábola. Por eso se habla de tiro parabólico y de parábola de seguridad, que
es una parábola envolvente de todaslas trayectorias que puede seguir un determinado
proyectil en función del ángulo de lanzamiento.
Las hipérbolas se usan en arquitectura, basta ver la Sagrada Familia de Gaudí, por
formar arcos más esbeltos y estéticos que con una parábola.

Parábolas en las formas de un buque
Los extremos de las líneas de agua en muchas partes del buque, suelen diseñarse como
parábolas debido a susimplicidad y facilidad de construcción.

Apuntes de Geometría plana

ETSI Navales

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5.1 Definición
Hasta ahora las cónicas se habrán explicado como un lugar geométrico; así por ejemplo
se habrá definido la elipse como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma
de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Sin embargoestas son sólo
algunas de sus propiedades, y el verdadero origen de las cónicas es tridimensional.
Una cónica proviene de cortar una superficie cónica por un plano. Hasta ahora se ha
hablado de conos y no de superficie cónica. La superficie cónica tiene dos hojas, es
decir, sería un cono unido a otro simétrico a él respecto al vértice, y es ilimitada, es
decir no tiene base. No obstante porcomodidad y mejor visualización suelen dibujarse
conos con base.
Una superficie cónica se forma al girar en el espacio una recta denominada generatriz
respecto a otra fija denominada eje de la superficie cónica (Fig. 1). El ángulo entre las
dos rectas es el semiángulo cónico α.

Fig. 1 Generación de una superficie cónica

5.2 Generación de cónicas
La obtención de un tipo u otro de cónica(elipse, parábola o hipérbola) depende de la
posición relativa entre el plano de corte a la superficie cónica y el eje misma. Existen
otras dos cónicas degeneradas que son dos rectas si el plano de corte pasa por el eje de
la superficie cónica y una recta doble si el plano es tangente a la superficie cónica
cortándola en una generatriz. Sólo se verán por su importancia la elipse, parábola ehipérbola.

Apuntes de Geometría plana

ETSI Navales

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Elipse
En este caso, el ángulo formado por el plano de corte y el eje de la superficie cónica es
mayor que el semiángulo cónico (Fig. 2). La curva que se obtiene será cerrada y estará
situada en una única hoja de la superficie cónica

Fig. 2 Generación de una elipse
Si el plano esperpendicular al eje del cono, se obtiene una circunferencia que es un caso
particular de elipse.

Parábola
En este caso, el ángulo entre el plano de corte y el eje del cono, es igual al semiángulo
cónico, es decir que el plano de corte es paralelo a una generatriz del cono (Fig. 3). La
cónica obtenida no es una cónica cerrada y tendrá puntos en el infinito. Como la
hipérbola, la parábola esuna cónica con puntos en el infinito.

Fig. 3 Generación de una parábola

Hipérbola
En este caso el ángulo formado por el plano de corte y el eje del cono es menor que el
semiángulo cónico (Fig. 4). De esta forma la intersección se produce en las dos hojas de
la superficie cónica a diferencia de la elipse y de la parábola, y de nuevo la cónica
tendrá puntos en el infinito.

Apuntes de...