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Método de Gauss-Seidel
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En análisis numérico el método de Gauss-Seidel es un método iterativo utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método se llama así en honor a los matemáticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidel y es similar al método de Jacobi.
Aunque este método puede aplicarse acualquier sistema de ecuaciones lineales que produzca una matriz (cuadrada, naturalmente pues para que exista solución el sistema debe tener tantas ecuaciones como incógnitas) de coeficientes con los elementos de su diagonal no-nulos, la convergencia del método solo se garantiza si la matriz es diagonalmente dominante o si es simétrica y, a la vez, definida positiva.
|Conten|
|1 Descripción |
|2 Convergencia |
|3 Explicación |
|4 Algoritmo |
|5 Enlaces externos |

Descripción
Es un método iterativo, lo que significa que se parte de una aproximación inicial y se repite el proceso hasta llegar a unasolución con un margen de error tan pequeño como se quiera. Buscamos la solución a un sistema de ecuaciones lineales, en notación matricial:
[pic]
donde:
[pic]
El método de iteración Gauss-Seidel se computa, para la iteración [pic]:
[pic]
donde
[pic]
definimos
[pic]
y
[pic],
donde los coeficientes de la matriz N se definen como [pic]si [pic], [pic]si [pic].Considerando el sistema [pic]con la condición de que [pic]. Entonces podemos escribir la fórmula de iteración del método
[pic](*)
La diferencia entre este método y el de Jacobi es que, en este último, las mejoras a las aproximaciones no se utilizan hasta completar las iteraciones.
Convergencia
|Teorema: Suponga una matriz [pic]es una matriz no singular que cumple la condición de|
|[pic]ó [pic]. |
|Entonces el método de Gauss-Seidel converge a una solución del sistema de ecuaciones, y la convergencia es por lo menos tan |
|rápida como la convergencia del método de Jacobi.|

Para ver los casos en que converge el método primero mostraremos que se puede escribir de la siguiente forma:
[pic](**)
(el término [pic]es la aproximación obtenida después de la k-ésima iteración) este modo de escribir la iteración es la forma general de un método iterativo estacionario.
Primeramente debemos demostrar que el problema lineal Ax = b quequeremos resolver se puede representar en la forma (**), por este motivo debemos tratar de escribir la matriz A como la suma de una matriz triangular inferior, una diagonal y una triangular superior A=(L+D+U), D=diag([pic]). Haciendo los despejes necesarios escribimos el método de esta forma
[pic]

por lo tanto M=-(L+D)-1 U y c=(L+D)-1b
Ahora podemos ver que la relación entre los errores, elcuál se puede calcular al substraer x=Bx+c de (**)
[pic]
Supongamos ahora que [pic], i= 1, ..., n, son los valores propios que corresponden a los vectores propios ui, i= 1,..., n, los cuales son linealmente independientes, entonces podemos escribir el error inicial
[pic]
[pic](***)
Por lo tanto la iteración converge si y sólo si | λi| i en la parte izquierda son nulos,mientras que en la parte derecha son nulos todos los sumandos para los que [pic]
. Podemos escribir entonces:
|[pic] |= |[pic] |  |
|[pic] |= |[pic] |  |

de donde despejando...