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Historia
Los valores y vectores propios son unos de los temas de mayor utilidad del álgebra lineal, no ya solo dentro de las matemáticas (como por ejemplo, para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales), si no que aparecen también en multitud de aplicaciones: sistemas dinámicos, estudio de vibraciones, sistemas electricos, reacciones químicas, etc.
De hecho, como curiosidad histórica, losvalores propios aparecieron antes que las matrices. En el siglo XVIII algunos científicos comenzaron a utilizar valores propios para estudiar el movimiento de los planetas . Joseph Louis Lagrange estudió un sistema de 6 ecuaciones diferenciales, de donde sacó una ecuación de 6º grado cuyas raíces eran los valores propios de una matriz 6x6.
También han estado estrechamente relacionados con lasformas cuadráticas. Desde aproximadamente 1740, Euler usaba de manera implícita los valores propios para describir geométricamente las formas cuadráticas en tres variables, que respondían a la forma la forma F(x ; y ; z) = a x2 + b y2 + c z2 + d xy + e xz + f yz. En 1820, Cauchy se dio cuenta de la importancia de los valores propios para determinar los “ejes principales” de una forma cuadráticacon n variables, aplicándolo a la mecánica celeste tal y como había hecho antes Lagrange. Fue él quién acuñó el termino de valores propios, orginalmente “eigenvalores” (siendo “eigen” propio en alemán).
Biografías
Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) estudió en la École Polytechnique parisina y desde joven recibió gran cantidad de premios académicos. Se graduó en inegeniería civil, y trabajo comoingeniero militar para Napoleón. Más adelante se dedicó a estudiar funciones de variable compleja, y publicó trabajos sobre límites, continuidad y la convergencia de las series infinitas.
Joseph Louis Lagrange (1736-1813) Matemático y físico francés. En un libro de 1797 él enfatizó la importancia de la serie de Taylor y el concepto de función. Trabajó en el sistema métrico y defendió la basedecimal.
Leonhard Euler (1707-1783) fue un destacado matemático suizo que estudió y realizó destacados descubrimientos en prácticamente toda rama de las matemáticas. Fue en gran medida responsable de los símbolos e, i y.

Valores y vectores propios
¿Qué son?
En álgebra lineal, los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando sontransformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar \lambda recibe el nombre valor propio, autovalor, valor característico o eigenvalor. A menudo, una transformación queda completamente determinada por sus vectores propios y valores propios. Un espacio propio, autoespacio o eigenespacio es el conjunto de vectores propios con unvalor propio común.
Terminología
Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que, o no se ven afectados por la transformación o se ven multiplicados por un escalar, y por tanto no varían su dirección.
El valor propio de un vector propio es el factor de escala por el que ha sido multiplicado.
Un espacio propio es un espacio formado por todos los vectores propios del mismovalor propio, además del vector nulo, que no es un vector propio.
La multiplicidad geométrica de un valor propio es la dimensión del espacio propio asociado.
El espectro de una transformación en espacios vectoriales finitos es el conjunto de todos sus valores propios.
Definición matemática
Formalmente, se definen los vectores propios y valores propios de la siguiente manera: Si A:V → V es un operador lineal en un cierto espacio vectorial V, v es un vector diferente de cero en V y c es un escalar tales que

entonces decimos que v es un vector propio del operador A, y su valor propio asociado es c. Observe que si v es un vector propio con el valor propio c entonces cualquier múltiplo diferente de cero de v es también un vector propio con el valor propio c. De hecho,...