profesorado matematicas
Páginas: 17 (4009 palabras)
Publicado: 30 de junio de 2013
Vectores y Matrices
Bases y Ortonormailizaciòn
Ecuaciones Lineales Algenraicas
Ejercicios
Vectores y Matrices
Bases y Ortonormailizaciòn
Ecuaciones Lineales Algenraicas
Ejercicios
Vectores y Matrices
Tema 3: Repaso de Álgebra Lineal
Parte I
Los elementos básicos en teoría de sistemas lineales son
vectores n × 1 (columna) o 1 × n (fila) y matrices n × m con
elementosreales, es decir, v ∈ Rn , A ∈ Rn×m . Denotamos el
elemento i del vector v como vi , y el elemento ij de una matriz
A como aij o [A]ij .
v1
a11 a12 . . . a1m
v2
a
a22 . . . a2m
T
v = . = v1 v2 . . . vn , A = 21
... ... ... ...
.
.
an1 an2 . . . anm
vn
Virginia Mazzone
Contenidos
Vectores y Matrices
Bases y Ortonormailizaciòn
Norma deVectores
Ortonormalización
Ecuaciones Lineales Algenraicas
Ejercicios
Virginia Mazzone: Tema 3: Repaso de Álgebra Lineal Parte I
Vectores y Matrices
Bases y Ortonormailizaciòn
Virginia Mazzone: Tema 3: Repaso de Álgebra Lineal Parte I
Ecuaciones Lineales Algenraicas
Ejercicios
El producto de dos matrices A ∈ Rm×n y B ∈ Rr×s sólo está
definido si n = r. En particular para vectoresv ∈ Rn , w ∈ Rm ,
tenemos vwT ∈ Rn×m .
Escribimos la matriz n × m con todos sus elementos cero como
0n×m , simplemente 0 si las dimensiones son claras del
contexto. Para matrices cuadradas, m = n, la matriz nula es 0n
y la matriz identidad In o simplemente I
Asumimos las operaciones de suma y producto de matrices
familiares. Lo interesante del producto de matrices es que en
general es noconmutativo, es decir, AB y BA no son siempre
lo mismo.
Sean A, B, C y D matrices reales de n × m, m × r, l × n y r × p
respectivamente. Sea ai la i-esima columna de A y bj la
j-esima columna de B. Tenemos
Virginia Mazzone: Tema 3: Repaso de Álgebra Lineal Parte I
Vectores y Matrices
Bases y Ortonormailizaciòn
Ecuaciones Lineales Algenraicas
Ejercicios
El producto de dosmatrices A ∈ Rm×n y B ∈ Rr×s sólo está
definido si n = r. En particular para vectores v ∈ Rn , w ∈ Rm ,
tenemos vwT ∈ Rn×m .
Escribimos la matriz n × m con todos sus elementos cero como
0n×m , simplemente 0 si las dimensiones son claras del
contexto. Para matrices cuadradas, m = n, la matriz nula es 0n
y la matriz identidad In o simplemente I
Asumimos las operaciones de suma y producto de matricesfamiliares. Lo interesante del producto de matrices es que en
general es no conmutativo, es decir, AB y BA no son siempre
lo mismo.
Sean A, B, C y D matrices reales de n × m, m × r, l × n y r × p
respectivamente. Sea ai la i-esima columna de A y bj la
j-esima columna de B. Tenemos
Virginia Mazzone: Tema 3: Repaso de Álgebra Lineal Parte I
Vectores y Matrices
Bases yOrtonormailizaciòn
Ecuaciones Lineales Algenraicas
Ejercicios
b1
b2
. = a1 b1 + a2 b2 + · · · am bm
.
.
Vectores y Matrices
Bases y Ortonormailizaciòn
AB = a1 a2 · · · am
b1
b2
. = a1 b1 + a2 b2 + · · · am bm
.
.
AB = a1 a2 · · · am
bm
CA = C a1 a2 · · · am = Ca1 Ca2 · · · Cam
b1 D
b1
b2 D
b2
BD = . D = .
.
.
.
.
CA = C a1 a2 · · · am = Ca1 Ca2 · · · Cam
b1 D
b1
b2 D
b2
BD = . D = .
.
.
.
.
bm D
bm
Si A es cuadrada, para cualquier entero k ≥ 0 la potencia Ak
está bien definida, con A0 = I. Si existe un k > 0 tal que
Ak = 0 decimos que A es nilpotente.
Bases y Ortonormailizaciòn
Virginia Mazzone: Tema3: Repaso de Álgebra Lineal Parte I
Ecuaciones Lineales Algenraicas
Ejercicios
Traza. Para una matriz cuadrada n × n, la traza es la suma de
los elementos de su diagonal
tr A
bm D
Si A es cuadrada, para cualquier entero k ≥ 0 la potencia Ak
está bien definida, con A0 = I. Si existe un k > 0 tal que
Ak = 0 decimos que A es nilpotente.
Virginia Mazzone: Tema 3: Repaso de...
Bases y Ortonormailizaciòn
Ecuaciones Lineales Algenraicas
Ejercicios
Vectores y Matrices
Bases y Ortonormailizaciòn
Ecuaciones Lineales Algenraicas
Ejercicios
Vectores y Matrices
Tema 3: Repaso de Álgebra Lineal
Parte I
Los elementos básicos en teoría de sistemas lineales son
vectores n × 1 (columna) o 1 × n (fila) y matrices n × m con
elementosreales, es decir, v ∈ Rn , A ∈ Rn×m . Denotamos el
elemento i del vector v como vi , y el elemento ij de una matriz
A como aij o [A]ij .
v1
a11 a12 . . . a1m
v2
a
a22 . . . a2m
T
v = . = v1 v2 . . . vn , A = 21
... ... ... ...
.
.
an1 an2 . . . anm
vn
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Ejercicios
El producto de dos matrices A ∈ Rm×n y B ∈ Rr×s sólo está
definido si n = r. En particular para vectoresv ∈ Rn , w ∈ Rm ,
tenemos vwT ∈ Rn×m .
Escribimos la matriz n × m con todos sus elementos cero como
0n×m , simplemente 0 si las dimensiones son claras del
contexto. Para matrices cuadradas, m = n, la matriz nula es 0n
y la matriz identidad In o simplemente I
Asumimos las operaciones de suma y producto de matrices
familiares. Lo interesante del producto de matrices es que en
general es noconmutativo, es decir, AB y BA no son siempre
lo mismo.
Sean A, B, C y D matrices reales de n × m, m × r, l × n y r × p
respectivamente. Sea ai la i-esima columna de A y bj la
j-esima columna de B. Tenemos
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El producto de dosmatrices A ∈ Rm×n y B ∈ Rr×s sólo está
definido si n = r. En particular para vectores v ∈ Rn , w ∈ Rm ,
tenemos vwT ∈ Rn×m .
Escribimos la matriz n × m con todos sus elementos cero como
0n×m , simplemente 0 si las dimensiones son claras del
contexto. Para matrices cuadradas, m = n, la matriz nula es 0n
y la matriz identidad In o simplemente I
Asumimos las operaciones de suma y producto de matricesfamiliares. Lo interesante del producto de matrices es que en
general es no conmutativo, es decir, AB y BA no son siempre
lo mismo.
Sean A, B, C y D matrices reales de n × m, m × r, l × n y r × p
respectivamente. Sea ai la i-esima columna de A y bj la
j-esima columna de B. Tenemos
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b1
b2
. = a1 b1 + a2 b2 + · · · am bm
.
.
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Bases y Ortonormailizaciòn
AB = a1 a2 · · · am
b1
b2
. = a1 b1 + a2 b2 + · · · am bm
.
.
AB = a1 a2 · · · am
bm
CA = C a1 a2 · · · am = Ca1 Ca2 · · · Cam
b1 D
b1
b2 D
b2
BD = . D = .
.
.
.
.
CA = C a1 a2 · · · am = Ca1 Ca2 · · · Cam
b1 D
b1
b2 D
b2
BD = . D = .
.
.
.
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bm D
bm
Si A es cuadrada, para cualquier entero k ≥ 0 la potencia Ak
está bien definida, con A0 = I. Si existe un k > 0 tal que
Ak = 0 decimos que A es nilpotente.
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Ejercicios
Traza. Para una matriz cuadrada n × n, la traza es la suma de
los elementos de su diagonal
tr A
bm D
Si A es cuadrada, para cualquier entero k ≥ 0 la potencia Ak
está bien definida, con A0 = I. Si existe un k > 0 tal que
Ak = 0 decimos que A es nilpotente.
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