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MATRIZ INVERTIBLE
Sea la matriz .
es matriz invertible si y sólo si existe una matriz , tal que
.
Notas
1. es matriz inversa de , , de la definición,
.
2. es matriz invertible, , de ladefinición,




TEOREMA 23
Sea ,
Si es matriz invertible, entonces su inversa es única.

DEMOSTRACION
Por contradicción:
Se supone que la inversa de A no es única, es decir,existen matrices , inversas de , tales que .
(1)
(2) (
(3)
Reemplazando (2) en (3)


Reemplazando (1) en (4)


Lo que contradice la suposición.
Por lo tanto la inversade es única.


TEOREMA 24

Sea , matriz invertible, entonces
DEMOSTRACION
, ( (
es matriz invertible, por lo tanto cumple que: ,,,,,,,,,,
Igualando



TEOREMA 25

Sean, matrices invertibles, entonces
también es invertible y cumple que:


DEMOSTRACION
Si son invertibles
existen matrices

P.D. Existe una matriz tal que:

a)(1)
b)


(2)

Igualando (1) y (2)

Por lo tanto

TEOREMA 26

Sean , matrices invertibles, entonces:TEOREMA 32

Sea
Si tiene fila de ceros, entonces no es invertible.





TEOREMA 36

Toda matriz elemental es invertible y su matriz inversa es elemental.

DEMOSTRACION
E matrizelemental
E´ matriz inversa de A

e(A)=EA
P.D. EE´=E´E=I
a) EE´=I

(Teorema 33)
EE´=I (1)
b) E´´E=I

e´(E)=I (Teorema 33)
EE´=I (2)
Igualando (1) y(2)
EE´=E´E=I




TEOREMA 41

Sea .
es invertible si y sólo si es equivalente por filas a .


DEMOSTRACION

a) PD: Si A es invertible, entonces es equivalente por filas a I
PorContradicción:
Se supone que:
A es equivalente por filas a B (BI)

Si
B tiene fila de ceros (Teorema 40)
tiene fila de ceros (Teorema 31)
A tiene fila de ceros
A no es invertible...