Propagacion de ondas

PROPAGACION Y RADIACION ELECTROMAGNETICA II
Miguel Delgado Le´n o 28 de Julio del 2005

Cap´ ıtulo 1 Cavidades Resonantes
Los resonadores de cavidad (cavidades resonantes) son dispositivos muy utilizados en aplicaciones como, almacenamiento de energ´ filtros, sinıa, tonia de osciladores, amplificadores sintonizados, frecuencimetros, medida de caracteristica de materiales, etc. A altasfrecuencias (100 MHz o mayores) los circuitos RLC son ineficientes cuando se utilizan como resonadores porque las dimensiones del circuito son comparables con la longitud de onda de operaci´n y, en consecuencia ocurre cierta rao diaci´n no deseada. A altas frecuencias, los circuitos resonadores RLC o son reemplazados por cavidades resonadoras electromagn´ticas. e

1.1

Cavidades rectangulares

Lascavidades rectangulares es una gu´ de ondas rectangular con los ıa extremos cerrados por paredes conductoras y que se alimentan por un agujero mediante una sonda. Consideraremos las dimensiones de la cavidad como a×b×d y el medio dentro de la cavidad (relleno) tiene una permeabilidad µ y una permitividad ε. Los campos electromagn´ticos e dentro de la cavidad estan dados por: ˆ ˆ z E(x, y, z) = Ex(x, y, z) x + Ey (x, y, z) y + Ez (x, y, z) ˆ y ˆ ˆ z H(x, y, z) = Hx (x, y, z) x + Hy (x, y, z) y + Hz (x, y, z) ˆ (1.2) (1.1)

Aplicando las ecuaciones de Maxwell (ley de Gauss) en coordenadas rectangulares tenemos de · E(r) = 0: ∂Ex ∂Ey ∂Ez + + =0 ∂x ∂y ∂z 1 (1.3)

2

CAP´ ITULO 1. CAVIDADES RESONANTES · H(r) = 0: (1.4)

y de la ley de Gauss magn´tico e

∂Hx ∂Hy ∂Hz + + =0 ∂x ∂y ∂zAplicando las otras ecuaciones de Maxwell, ley de Faraday y de AmpereMaxwell obtenemos 6 ecuaciones, si combinamos estas ecuaciones (queda como tarea) llegamos a: ω 2 µε + ω 2 µε + ω 2 µε +
2

∂2 ∂ ∂ ∂ Hx = jωε Ez + Hz 2 ∂z ∂y ∂x ∂z

(1.5)

∂2 ∂ ∂ ∂ Hy = −jωε Ez + Hz 2 ∂z ∂x ∂y ∂z ∂2 ∂ ∂ ∂ Ez Ex = −jωµ Hz + 2 ∂z ∂y ∂x ∂z

(1.6) (1.7) (1.8)

∂2 ∂ ∂ ∂ ω µε + 2 Ey = jωµ Hz + Ez ∂z ∂x ∂y ∂zSe observa que podemos clasificar en dos modos: modos T E modos T M Hz = 0 Ez = 0 Ez = 0 Hz = 0

(1.9) (1.10)

1.2

Estudio de los modos T E Hz = 0
∂2 ∂2 ∂2 + 2 + 2 Hz (x, y, z) + ω 2 µεHz (x, y, z) = 0 ∂x2 ∂y ∂z

Reemplazando (1.5) y (1.6) en (1.4), llegamos a la siguiente E.D. (1.11)

Utilizando la t´cnica de separaci´n de variables: Hz = X(x)Y (y)Z(z) e o que reemplazando en laecuaci´n diferencial y dividiendo por XY Z, o obtenemos tres ecuaciones diferenciales, resolviendo cada una de ellas y aplicando condiciones de frontera en x = 0, y = 0 y z = 0, llegamos a: X(x) = a1 cos(kx x) Y (y) = b1 cos(ky y) Z(z) = c1 sen(kz z) (1.12) donde
2 2 2 kx + ky + kz = ω 2 µε

(1.13)

1.2. ESTUDIO DE LOS MODOS T E HZ = 0

3

es la relaci´n de dispersi´n. Aplicando condicionesde frontera en x = a, o o y = b y z = d encontramos que kx = mπ a m = 0, 1, 2, · · · ky = nπ b n = 0, 1, 2, · · · kz = lπ d l = 1, 2, · · ·

(1.14) m y n no pueden ser a la vez cero. Entonces hemos llegado a la soluci´n o para los modos T E: Hz (x, y, z) = H0 cos mπ nπ lπ x cos y sen z a b d (1.15)

Tenemos muchas soluciones, cada soluci´n es un modo, la representaci´n o o de un modo es T Em nl . Las otras componenetes de los campos electromagn´ticos se obtienen reemplazando (1.15) en (1.5) hasta (1.8). La e ecuaci´n que relaciona la frecuencia de la onda con el modo T Em n l se o obtiene de (1.13) y se transforma en: mπ a
2

+

nπ b

2

+

lπ d

2

= ω 2 µε

(1.16)

La frecuencia de la onda debe cumplir esta relaci´n, es decir, un valor o particular y se le conocecomo la frecuencia de resonancia ω = ωr (=2 πfr ) y para el modo T Em n l esta dado en Hz por 1 fr = √ 2 µε m a
2

+

n b

2

+

l d

2

(1.17)

La longitud de onda de resonancia se define como fr λr = c λr =
m a

2
2

+

n b

2

+

l d

2

m.

(1.18)

Ejemplo Demostrar que para los modos T M una de las componentes de los campos electromagn´ticos es: e Ez (x,...