PropiedadDescripci n

Propiedad Descripción
Clausura AB es también una matriz
Elemento neutro Si A es una matriz cuadrada de tamaño m, entonces la matriz identidad Im×m es elemento neutro, de manera que: I·A = A·I = A
Propiedad asociativa (AB)C = A(BC)
Propiedad distributiva
- Por la derecha
- Por la izquierda
(A + B)C = AC + BC
C(A + B) = CA + CB
[Expandir]Demostración de la propiedad asociativa
l producto de dosmatrices generalmente no es conmutativo, es decir, AB ≠ BA.

AB_{}^{} = \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
1 & 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 1
\end{pmatrix} y por el contrario BA_{}^{} = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
1 & 1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 2\end{pmatrix}
La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente A / B, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa, sólo aplicable a las matrices invertibles.

Finalmente, note que tanto la multiplicación de una matriz por un escalar, como la multiplicación de dos escalares, puede representarse mediante una multiplicación de dosmatrices:

kA_{}^{} = (kI)A_{}^{} = \begin{pmatrix}
k & 0 & \cdots & 0 \\
0 & k & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & k
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
a_{1 1} & \cdots & a_{1 n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n 1} & \cdots & a_{n n}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
ka_{1 1} & \cdots & ka_{1 n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
ka_{n 1} & \cdots &ka_{n n}
\end{pmatrix}.
Aplicaciones[editar]
La multiplicación de matrices es muy útil para la resolución de sistemas de ecuaciones de muchas variables, dado que son muy cómodas para ser implementadas mediante un computador. El cálculo numérico se basa en gran parte de estas operaciones, al igual que poderosas aplicaciones tales como MATLAB. También actualmente se utiliza mucho en el cálculo demicroarrays, en el área de bioinformática.

Sistemas de ecuaciones[editar]
Consideremos el caso más sencillo, el de las matrices cuadradas de orden 2, es decir cuando n = m = 2. Las aplicaciones lineales del plano real que, al punto M(x1,x2) hacen corresponder el punto N(y1,y2) se expresan como un sistema de dos ecuaciones con dos variables. Las matrices permiten escribirlos más rápidamente. Así, porejemplo, el sistema:


\left \{
\begin{matrix}
y_1 = a x_1 + b x_2\\
y_2 = c x_1 + d x_2
\end{matrix}
\right.
se escribe de forma matricial así:
\begin{pmatrix}
y_1\\
y_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2
\end{pmatrix}
Como se ve, en la notación matricial, las variables sólo aparecen una vez, así como el símbolo "=", y lossignos "+" ni se escriben. Los ahorros de tiempo y energía no son enormes aquí, pero crecen con las dimensiones de la matriz.
Ahora bien, las aplicaciones lineales se pueden sumar, lo que daría la adición de las matrices que se definió arriba, pero no se pueden multiplicar. Sin embargo, existe otra operación, universal en el campo de las aplicaciones: la composición, es decir aplicar sucesivamentedos o más funciones a un objeto. Al componer:
\left \{
\begin{matrix}
z_1 = e y_1 + f y_2\\
z_2 = g y_1 + h y_2
\end{matrix}
\right.
\mbox{ con }
\left \{
\begin{matrix}
y_1 = a x_1 + b x_2\\
y_2 = c x_1 + d x_2
\end{matrix}
\right.
obtnemos:
\left \{
\begin{matrix}
z_1 = e(a x_1 + b x_2) + f(c x_1 + d x_2) = (ea + fc)x_1 + (eb + fd)x_2\\
z_2 = g(a x_1 + b x_2) + h(c x_1 + d x_2) = (ga + hc)x_1 +(gb + hd)x_2
\end{matrix}
\right.
lo que corresponde a la matriz:
\begin{pmatrix}
ea + fc & eb + fd\\
ga + hc & gb + hd
\end{pmatrix}
Por lo tanto se define el producto de matrices así:
\begin{pmatrix}
e & f \\
g & h
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
ea + fc & eb + fd\\
ga + hc & gb + hd
\end{pmatrix}


Consulta
Nombre JORDAN CAIZA...