Propiedades de la recta

Algunas propiedades

sencillas de las rectas

579

L(P;A)

L(O; A)

FIGURA

13.3

13.1

La recta L(P; A) por P paralela a A y su relación geométrica
LW; A) por O paralela a A.

con la recta

Algunaspropiedades sencillas de las rectas

Primero demostramos que el vector dirección A que aparece en la definición
de L(P; A) puede reemplazarse por cualquier otro vector paralelo a A. (Recordemos quedos vectores A y B se llaman paralelos si A = cB para un cierto escalar
e no nulo.)
TEOREMA
13.1. Dos rectas L(P; A) Y L(P; B) que pasan por el mismo punto P son iguales si y sólo si los vectores dedirección A y B son paralelos.

Supongamos primero que L(P; A) = L(P; B). Tomemos un
Demostración.
punto en L(P; A) distinto de P, por ejemplo P + A. Este punto está también en
L(P; B) de manera que P +A = P + cB para un cierto escalar c. Luego, tenemos A = cB y e =/=- O ya que A =/=-0.Por consiguiente, A y B son paralelos.
Demostremos ahora el recíproco. Supongamos que A y B son paralelos, sea
A=cBpara un cierto c=/=-O.
Si Q está en L(P; A), entonces tenemos Q = P+tA=
= P + t(cB) = P + (ct)B, con 10 que Q está en L(P; B). Por consiguiente
L(P; A) S L(P; B). Del mismo modo, L(P; B) S L(P; A),por tanto L(P; A) =
= L(P; B).
A continuación demostramos que el punto P que aparece en la definición de
L(P; A) puede reemplazarse por cualquier otro punto Q situado en la misma
recta.

580Aplicaciones del álgebra vectorial a la geometría analítica

TEOREMA 13.2.
Dos rectas L(P; A) Y L(Q; A) con el mismo vector de dirección A son iguales si y sólo si Q está en L(P; A).

Demostración. Supongamosque L(P; A) = L(Q; A). Puesto que Q está en
L(Q; A), Q también está en L(P; A). Para demostrar el recíproco, supongamos
que Q está en L(P; A), sea Q = P + cA. Queremos demostrar que L(P; A) =
L(Q;A). Si X E L(P; A), entonces X = P + tA para un cierto t. Pero
P
Q - cA, así que X
Q - cA + tA = Q + (t - c)A, y por tanto X también está en L(Q; A). Por lo tanto L(P; A) S L(Q; A). Análogamente,...