Recta

CÁLCULO I

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Continuidad de Funciones
La mayor parte de las funciones que estudiamos, a nivel elemental, presentan en sus
gráficas una propiedad característica que es la continuidad.
La continuidad de una función definida en un intervalo significa que pequeñas variaciones
en el original x ocasionan pequeñas variaciones en la imagen y y no un salto brusco de su
valor.
Intuitivamenteesto significa una variación suave de la función sin saltos bruscos que
rompan la gráfica de la misma.
Ejemplos

Definición.
Se dice que una función f es continua en un punto x0 si:
a) Existe f ( x0 )
b) Existe lim f ( x)
x → x0

c)

lim f ( x) = f ( x0 )

x → x0

En forma Matemática:
lim f ( x) = f ( x 0 ) ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que: si
x → x0

x − x0 < δ ⇒ f ( x) − f ( x0 ) < εUna función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho
número. En la gráfica de una función que es discontinua en el punto x0 se puede observar
un "salto" o un "hueco" precisamente donde x = x0 . La discontinuidad puede ser
removible o esencial.
Tipos de discontinuidades:
a) Discontinuidad evitable o removible : Existe lim f ( x) pero :
x → x0

No existe f (x0 )
Existe f ( x0 ) pero lim f ( x) ≠ f ( x0 )
x → x0

Nota: En estos dos casos la discontinuidad desaparece cuando se redefine
manera que lim f ( x) = f ( x0 ) .

f ( x0 ) de tal

x → x0

Semestre 2011-II

Prof. Elton Barrantes

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b) Discontinuidad esencial o inevitable : No existe lim f ( x) :
x → x0

los límites laterales existen pero no son iguales : (1ªespecie)
salto finito
salto infinito
alguno de los límites laterales no existe (2ª especie)
Nota: En estos casos no es posible deshacerse de dicha discontinuidad.
Ejemplos.

Ejercicios.
1. Sean f

y g funciones, tales que, g

es continua en x0 = 0 , g (0) = 0 y que

f ( x) ≤ g ( x) , ∀ x ∈ R . Demuestre que f es continua en x0 = 0 .
 x si 0 ≤ x ≤ 2

2. Estudie la continuidad dela función: f ( x) =  x + 2 si 2 < x < 3
2 x − 1 si 3 ≤ x ≤ 4

3. Halle a y b para que el salto de f en x0 = 2 sea 4, donde

 2x + a
, x 2

x2 − 9
, con x ≠ 2 y x ≠ 3 . Defina f (3) para que sea continua.
x 2 − 5x + 6
x 3 − 3x 2 + 3x − 1
5. Sea f ( x) =
, con x ≠ 1 y x ≠ 2 . Define f (1) para que sea continua.
x2 + x − 2
6. El costo c, en soles, por enviar un paquete es de 50soles si pesa hasta 5 kilogramos, de
80 soles si su peso es mayor de 5 y hasta 10 kilogramos, y de (x + 70) soles si pesa más
de 10 y hasta 50 kilogramos. Exprese la función del costo, analice en qué puntos tiene
discontinuidades y trace su gráfica.

4. Sea f ( x) =

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Continuidad en un intervalo
Una función es continua en unintervalo abierto ( a , b ) si es continua en todos y cada uno de
los puntos del intervalo.

Observación. Diremos que una función y = f ( x) es continua por la derecha en un punto
de su dominio x = a si se cumple lim+ f ( x) = f (a )
x→ a

Diremos que una función y = f ( x) es continua por la izquierda en un punto de su
dominio x = b si se cumple lim− f ( x) = f (b)
x→ b

Una función escontinua en un intervalo cerrado [ a , b] si es continua en todos los puntos
del intervalo abierto ( a , b ) y, además, lim+ f ( x) = f (a ) y lim− f ( x) = f (a ) .
x→ a

x →b

Propiedades
Sean f y g funciones continuas en x = x0 . Se cumplen las siguientes propiedades:
La función suma f + g es continua en x = x0
La función producto f ⋅ g es continua en x = x0 .

f
La funcióncociente   es continua en x = x0 , siempre que g ( x0 ) ≠ 0 .
g

Continuidad de funciones importantes
1. Función constante
La función constante f (x) = k es continua en todos los puntos. Pues

•
•

f ( x0 ) = k 

• lim f ( x) = f ( x 0 )
lim f ( x) = k 
x → x0

x → x0


2. Función potencial
La función potencial f ( x) = x n es continua en todos sus puntos, salvo el caso...