PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES pagina de internet
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Publicado: 28 de agosto de 2015
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.
Los determinantes tienen las siguientes propiedades que son útiles para simplificar su evaluación.
En los párrafos siguientes consideramos que A es una matrizcuadrada.
Propiedad 1.
Si una matriz A tiene un renglón (o una columna) de ceros, el determinante de A es cero.
Ejemplo 1.
Sea
Desarrollando por cofactores del primer renglónse tiene
Propiedad 2.
El determinante de una matriz A es igual al determinante de la transpuesta de A.
Esto esEjemplo 2.
Sea
La transpuesta de A es
Propiedad 3.
Si se intercambian dos renglones (o dos columnas) de una matriz A entonces el determinante cambia designo.
Ejemplo 3.
Sea con
Intercambiando los renglones 1 y 2 la matriz queda
con
Note que los determinantes se calcularon expandiendo por cofactores de laprimera columna.
Propiedad 4.
Si una matriz A tiene dos renglones (o dos columnas) iguales entonces det A = 0.
Ejemplo 4.
Sea entonces
Propiedad 5.
Cuando unsolo renglón (o columna) de una matriz A se multiplica por un escalar r el determinante de la matriz resultante es r veces el determinante de A, r det A.
Ejemplo 5.
Sea cuyodeterminante se calculó en el ejemplo 2,
Multiplicando el tercer renglón de A por el escalar r = 3 se tiene la matriz B siguiente
cuyo determinante,desarrollado por cofactores de la primera columna de B es
Propiedad 6.
Si un renglón de la matriz A se multiplica por un escalar r y se suma a otro renglón de A, entonces eldeterminante de la matriz resultante es igual al determinante de A, det A. Lo mismo se cumple para las columnas de A.
Ejemplo 6.
Sea cuyo determinante se calculó en el ejemplo 2,...
Los determinantes tienen las siguientes propiedades que son útiles para simplificar su evaluación.
En los párrafos siguientes consideramos que A es una matrizcuadrada.
Propiedad 1.
Si una matriz A tiene un renglón (o una columna) de ceros, el determinante de A es cero.
Ejemplo 1.
Sea
Desarrollando por cofactores del primer renglónse tiene
Propiedad 2.
El determinante de una matriz A es igual al determinante de la transpuesta de A.
Esto esEjemplo 2.
Sea
La transpuesta de A es
Propiedad 3.
Si se intercambian dos renglones (o dos columnas) de una matriz A entonces el determinante cambia designo.
Ejemplo 3.
Sea con
Intercambiando los renglones 1 y 2 la matriz queda
con
Note que los determinantes se calcularon expandiendo por cofactores de laprimera columna.
Propiedad 4.
Si una matriz A tiene dos renglones (o dos columnas) iguales entonces det A = 0.
Ejemplo 4.
Sea entonces
Propiedad 5.
Cuando unsolo renglón (o columna) de una matriz A se multiplica por un escalar r el determinante de la matriz resultante es r veces el determinante de A, r det A.
Ejemplo 5.
Sea cuyodeterminante se calculó en el ejemplo 2,
Multiplicando el tercer renglón de A por el escalar r = 3 se tiene la matriz B siguiente
cuyo determinante,desarrollado por cofactores de la primera columna de B es
Propiedad 6.
Si un renglón de la matriz A se multiplica por un escalar r y se suma a otro renglón de A, entonces eldeterminante de la matriz resultante es igual al determinante de A, det A. Lo mismo se cumple para las columnas de A.
Ejemplo 6.
Sea cuyo determinante se calculó en el ejemplo 2,...
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