proporcionalidad

La proporcionalidad es una relación o razón entre magnitudes mediales. Es uno de los escasos conceptos matemáticos ampliamente difundido en la población. Esto se debe a que es en buena medida intuitiva y de uso muy común. La proporcionalidad directa es un caso particular de las variaciones lineales. El factor constante de proporcionalidad puede utilizarse para expresar las relaciones igualdadentre las magnitudes.
Índice [ocultar]
1 Símbolo
2 Proporcionalidad directa
2.1 Primer ejemplo
2.2 Segundo y penúltimo ejemplo
2.3 Tercer y último ejemplo
3 Aplicación en geometría
3.1 Propiedades
4 Proporcionalidad inversa
5 Factor de proporcionalidad inversa
6 Coordenadas hiperbólicas
7 Proporcionalidad exponencial y logarítmica
8 Determinación experimental
9 Relación deequivalencia
9.1 Reflexividad
9.2 Simetría
9.3 Transitividad
10 Repartos proporcionales
10.1 Antecedente histórico
10.2 Casos de repartos proporcionales
10.3 En partes inversamente proporcionales
11 Véase también
11.1 Crecimiento
12 Enlaces externos
Símbolo[editar · editar código]

El símbolo matemático '∝' se utiliza para indicar que dos valores son proporcionales. Por ejemplo, A ∝ B. EnUnicode el símbolo es U+221D.
Proporcionalidad directa[editar · editar código]

Dadas dos variables x e y, y es (directamente) proporcional a x (x e y varían directamente, o x e y están en variación directa) si hay una constante k distinta de cero tal que:
y = kx.\,
La relación a menudo se denota
y \propto x
y la razón constante
k = y/x\,
es llamada constante de proporcionalidad.
Primerejemplo[editar · editar código]
La receta de un pastel de vainilla indica que para cuatro personas se necesitan 200 g de harina, 150 g de mantequilla, cuatro huevos y 120 g de azúcar. ¿Cómo adaptar la receta para cinco personas? Según varios estudios, la mayoría de la gente calcularía las cantidades para una persona (dividiendo entre cuatro) y luego las multiplicaría por el número real de personas,cinco, otras solo le sumarían lo que a una persona le corresponde. Una minoría no siente la necesidad de pasar por las cantidades unitarias (es decir por persona) y multiplicaría los números de la receta por 5/4 = 1,25 (lo que equivale a añadir cinco huevos, 250 g de harina; 187,5 g de mantequilla y 150 g de azúcar).
Se dice que la cantidad de cada ingrediente es proporcional al número de personasy se representa esta situación mediante una tabla de proporcionalidad: coeficiente k no nulo ( 5 \over 4 en el ejemplo) tal que
y_1 = k\cdot x_1, y_2= k\cdot x_2 \quad...\quad y_n= k\cdot x_n \



recta que pasa por el origen de coordenadas
Si se consideran x_1, x_2 ... x_n \ e y_1, y_2 ... y_n \ como valores de variables x \ e y \ , entonces se dice que estas variables sonproporcionales; la igualdad y = k·x significa que y es una Función lineal de x.
La representación gráfica de esta función es una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas. Una variación (incremento o decremento) de x da lugar a una variación proporcional de y (y recíprocamente, puesto que k≠0: y = 1/k · x):
\Delta y = k \cdot \Delta x \
Son las funciones más sencillas que existen y lasprimeras que se estudian en clase de matemáticas, con alumnos de trece años aproximadamente.
La relación «Ser proporcional a» es
reflexiva ( toda variable es proporcional a sí misma, con el coeficiente 1)
simétrica (cuando y es proporcional a x entonces x lo es a y, con el coeficiente inverso) y
transitiva (si x es proporcional a y, e y a z, entonces x lo es con z, multiplicando los coeficientes)por lo que se trata de una relación de equivalencia. En particular dos variables proporcionales a una tercera serán proporcionales entre sí).
La tabla del primer ejemplo se puede descomponer en tres de formato dos por dos:
tres tablas de proporcionalidad 2x2
por tanto las propiedades de la proporcionalidad se ilustran preferentemente con tablas de cuatro casillas.
tres maneras de ver la...