proyecto de estructuras

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N
E
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P
O

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
VICERRECTORADO DE BARQUISIMETO
DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES Y BÁSICOS
SECCIÓN DE MATEMÁTICA

´
Algebra Lineal
Gu´ de Ejemplos y Ejercicios
ıa
Aplicaciones de los Sistemas de Ecuaciones Lineales
Todos los ejemplos y ejercicios que se presentan a continuaci´n fueron extra´
o
ıdos del
´libro “Algebra Lineal y sus Aplicaciones” en su tercera edici´n cuyo autor es “David C.
o
Lay”.
A continuaci´n daremos algunos ejemplos que muestran la aplicaci´n de los sistemas
o
o
de ecuaciones lineales en variadas situaciones de la vida cotidiana.
Con mucha frecuencia en econom´ se presentan problemas que llevan a un sistema
ıa
de ecuaciones lineales, a continuaci´n presentamos unejemplo que produce una situaci´n
o
o
que se conoce como equilibrio de mercado.
Ejemplo 1 (Aplicaci´n a la econom´
o
ıa). Suponga que una econom´ consiste en los secıa
tores de carb´n, electricidad y acero, y que el rendimiento de cada sector se distribuye
o
entre los diferentes sectores como en el cuadro 1, donde las entradas de una columna
representan fracciones de la producci´n total de unsector.
o
La segunda columna del cuadro 1, por ejemplo, muestra que la producci´n total de
o
electricidad se divide como sigue: 40 % de carb´n, un 50 % de acero y el restante 10 % de
o
electricidad. (El sector el´ctrico trata este 10 % como un gasto en que incurre para hacer
e
funcionar su negocio.) Ya que debe tomarse en cuenta la producci´n total, las fracciones
o
decimales de cadacolumna deben sumar 1.
Los precios (es decir, valores en moneda) de la producci´n total de los sectores de
o
carb´n, electricidad y acero se denotar´n por pC , pE y pS , respectivamente. Si es posible,
o
a
encuentre los precios de equilibrio que permiten a los ingresos de cada sector igualar sus
gastos.
Distribuci´n del rendimiento de:
o
Carb´n Electricidad
o
Acero
0.0
0,4
0,6
0,60,1
0,2
0,4
0,5
0,2

Comprado por:
Carb´n
o
Electricidad
Acero

Cuadro 1: Una Econom´ Sencilla
ıa

Soluci´n. Un sector observa una columna para ver a d´nde va su producc´n y examina
o
o
o
una fila para ver qu´ necesita como entradas. Por ejemplo, la primera fila del cuadro 1
e
1

indica que el sector carb´n recibe (y paga por) el 40 % de la producci´n del sector el´ctrico
o
oe
y el 60 % de la producci´n de la producci´n de acero. Puesto que los valores respectivos de
o
o
producci´n totales son pE y pS , el sector carb´n debe gastar 0, 4pE unidades monetarias
o
o
por su producci´n de electricidad y 0, 6pS por su parte de producci´n de acero. Entonces
o
o
los gastos totales del carb´n son de 0, 4pE + 0, 6pS unidades monetarias. Para hacer que
o
losingresos del sector carb´n, pC , sean iguales a sus gastos, se desea
o
pC = 0, 4pE + 0, 6pS

(1)

La segunda fila del cuadro 1 de intercambio muestra que el sector el´ctrico gasta 0, 6pC
e
en carb´n, 0, 1pE en electricidad y 0, 2pS en acero. Entonces, el requisito ingresos/gastos
o
para electricidad es
pE = 0, 6pC + 0, 1pE + 0, 2pS

(2)

Por ultimo, la tercera fila del cuadro 1 deintercambio conduce al requisito final:
´
pS = 0, 4pC + 0, 5pE + 0, 2pS
Para resolver el sistema de ecuaciones (1),
obtener el sistema homog´neo:
e

pC −0, 4pE

−0, 6pC +0, 9pE

−0, 4pC −0, 5pE

(2) y (3), rescribamos cada ecuaci´n para
o
−0, 6pS = 0
−0, 2pS = 0
+0, 8pS = 0

Al hallar la FERF de la matriz del sistema


1 −0, 4 −0, 6
 −0, 6
0, 9 −0, 2 
−0, 4 −0, 5
0, 8obtenemos




1 0 −31/33
 0 1 −28/33 
0 0
0

que equivale al sistema
pC

pE

−31/33pS = 0
−28/33pS = 0

o bien
pC = 31/33pS
pE = 28/33pS
Por lo tanto la soluci´n general del sistema viene dada por:
o


 


31
pC
31/33pS
 pE  =  28/33pS  = 1 pS  28  con pS ≥ 0
33
33
pS
pS
2

(3)

Esto quiere decir que cualquier valor no negativo de pS genera un...