Prueba De Hipótesis

PROBLEMAS RESUELTOS PRUEBA DE HIPÓTESIS


1)Dada una media de muestra de 83 elementos , una desviación estándar de muestra de 12.5 y un tamaño de muestra de 22, pruebe la hipótesis de que el valor de la media de la población es 70, frente a la otra opción de que es más de 70. U
tilice un nivel de significancia de 0.025
SOLUCIÓN:
DATOS
Hipótesis nula:Uo
La media de la población es 70:Ho:Uo=70
Hipótesis alternativa:H1
La media de la población es más de 70:
H1: Uo>70
Prueba de un extremo:derecho
Nivel de significancia: 0.025
Media de la muestra [pic]=83
Desviación estándar de la muestra :[pic]=12.5
Tamaño de la muestra =22
Como no se conoce la desviación estándar de la población y el tamaño de la muestra es pequeño, utilizamos la distribución t:
[pic]Utilicemos dosmaneras:
1. Encontremos los límites de la región de aceptación:
Uo[pic][pic]:media hipotetizada más o menos t veces el error estándar
Averigüemos el valor de t:
En la tabla de la distribución t para 21 grados de libertada (n-1, n= tamaño de la muestra) y para un área de 0.475 (columna de 0.025) se lee un t=2,0796
Ahora encontremos el error estándar respectivo:
[pic]
Luego los límites deaceptación de nuestra prueba son:
70[pic](2,0796)*(2,665)=70[pic]5,54 ; entonces límite inferior de dicho intervalo =70-5.54=64.45
Límite superior = 70+5,54 = 75,54
Entonces: 64,45___________75,54
Y dado que la media de la muestra no se encuentra en este intervalo, porque es 83, rechazamos la hipótesis nula de que la media de la población es 70 .
Gráficamente tendremos:
[pic]


2. Ahoraanalicemos el segundo método:
Tiene que ver con los valores estandarizados:
Ya sabemos que el valor de t que limita la zona de aceptación es 2,0796; ahora comparémoslo con el valor t ( número de errores estándar) dado por el resultado de la prueba:
[pic] o [pic]
vemos que este valor supera los 2,0796 que figura como valor de aceptación. Por lo tanto este valor (4,87) también nos indica quedebemos rechazar la hipótesis nula
( esto es que la media de la población es de 70)
Gráficamente tendremos:

[pic]






2)Una corredora de bienes raíces tomó una muestra aleatoria de 12 hogares de un barrio de gente acomodada y encontró que el valor de mercado promedio estimado era de $780.000 con una desviación estándar de $49.000. Pruebe la hipótesis que para todas las casas del área,el valor estimado medio es de 825.000, frente a la otra opción de que es menos de $825.000. Utilice un nivel de significancia de 0.05.
SOLUCIÓN
Igual que en el problema anterior debemos utilizar la distribución t ( no se conoce la desviación estándar de la población y el tamaño de la muestra es pequeño)
DATOS:
Hipótesis nula:Uo
El valor estimado medio es:$825.000
Ho:Uo=$825.000
Hipótesisalternativa:H1
El valor estimado medio es menor de $825.000
H1: Uo4
Prueba de un extremo:derecho
Nivel de significancia: 0.05
Media de la muestra [pic]=5,037=5,04

Tamaño de la muestra =18
La distribución a utilizar es la distribución normal:
[pic]Utilicemos dos maneras:
1)Encontremos los límites de la región de aceptación:
Uo[pic][pic]:media hipotetizada más o menos z veces el errorestándar
Averigüemos el valor de z:
En la tabla de la distribución normal para un área de 0.45 se lee un
z =1.645 (promedio de dos valores)
Ahora encontremos el error estándar respectivo:
[pic]
Luego los límites de aceptación de nuestra prueba son:4[pic](1,645)*(0.542)=4[pic]0.89 ; entonces límite inferior de dicho intervalo =4-0.89=3,11
Límite superior = 4+0.89 = 4.89
Entonces:3.11___________4.89
Y dado que la media de la muestra no se encuentra en este intervalo, porque es 5.04, rechazamos la hipótesis nula de que la media de la población es 4cms .
Gráficamente tendremos:
[pic]

2)Ahora analicemos el segundo método:
Tiene que ver con los valores estandarizados:
Ya sabemos que el valor de z que limita la zona de aceptación es
Z = 1.645; ahora comparémoslo con el...