PRUEBA1 ONDAS 2015 I PAUTA

ONDAS Y FISICA MODERNA (FIS-222)
PAUTA PRUEBA 1: 31/03/2015
TIEMPO 90 minutos

PAUTA PRUEBA 1
NOMBRE:_____________________________________________________RUT:___________
PREGUNTA 1
Una masa de 4kg sujeta al extremo de un resorte oscila con MAS. El resorte tiene una constate de 100 N/m. Si
la posición de la masa en el tiempo 1,4 es 3,58 m y la velocidad en el tiempo 1,4 segundos es 8,90 m/s.Determine:
a) La amplitud (1,5 puntos)
k
100
w

5
m
4
v 2  w 2 A2  x 2









8,90  5 A  3,58 2
A  3,998m
b) La fase inicial para solución con seno (1,5 puntos)
x  A sin( wt   )
3,58  3,998 sin( 5t   )
  5,8905 rad
c) La posición en el tiempo 0,1 segundos (1,5 puntos)
x(0,1)  3,998 sin( 5  0,1  5,8905)
x(0,1)  3,11m
d) La velocidad en el tiempo 0,2 segundos (1,5 puntos)v(0,2)  3,998  5 cos(5  0,2  5,8905)
v(0,2)  3,54m / s
2

2

2

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PREGUNTA 2
Un resorte de constante elástica k y largo natural b tiene una partícula
de masa m en un extremo, mientras que el otro extremo está fijo a una
pared en un punto Q. Una barra ideal (masa despreciable) de largo
b 2 está sujeta en unextremo a una rótula, a distancia b 2 bajo Q
como lo indica la figura. En el otro extremo la barra esta ja a la
partícula de masa m.
a) ¿Cuánto debe valer m para que  


se un punto de equilibrio
4

estable del sistema? (2 puntos)
r1  b 2 sin( ); b 2 cos( )



r  0; b 2 
1
U  k  r  r   r  r   b   mgh
2
2

2

1



2

1

2

 



2

2
2
1 

U  k  b 2 sin( )  b 2 cos( ) b 2  b   mgh
2 

2
1
U  k 2b 2  4b 2 cos( )  2b 2  b  mgb 2 cos( )
2
2
1
U  k 2b 1  cos( )  b  mgb 2 cos( )
2
1 2
U  kb 5  4 cos( )  4 1  cos( )  mgb 2 cos( )
2
U 1 2 
sin( ) 
 kb 4 sin( )  2
 mgb 2 sin( )  0


 2
1

cos(

)



1 2 
sin( ) 
sin( ) 
kb 4 sin( )  2
kb 2 sin( ) 


2

1  cos( ) 
1  cos( ) 
kb 
1


m
 

2gb 2 sin( )
g 2 sin( )
g 2 
1  cos( ) 

 kb 
kb 
1
1
  0,10765 kb
  2
m
2



g
g 2
1  cos(45)  g 
2  2 













b) Obtenga la frecuencia angular de pequeñas oscilaciones en torno a ese punto de equilibrio. (4 puntos)
REVISAR LA SEGUNDA DERIVADA Y VER QUE OPINAS

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ma Fconservativas
d 2
1 U
m  r 2  U  
r 
dt
d 2
1 U
m  b 2 2  U  
dt
b 2 
d 2
1 U
m 2   2
dt
2b 
U
U
en serie de Taylor en torno al punto de equilibrio o , donde



Al desarrolla

términos de tercer orden tenemos que

U U

 


o

U  U

  2
2

 2U
 2

   o  
o

1  3U
2!  3

   o   orden _ sup erior
2

o

   o 
o

Alsustituir

d 2
1  2U


dt 2 2mb2  2

   o   0
o

Donde la frecuencia angular es
1  2U
w2 

2mb2  2 
o

Al calcular la segunda derivada tenemos:
U 1 2 
sin( ) 
 kb 4 sin( )  2
 mgb 2 sin( )  0

 2
1  cos( ) 


 2U 1 2 
cos( )
(1) sin( )
  mgb 2 cos( )

kb
4
cos(

)

2

2
(sin(

))
3


2
 2 2
1  cos( )
1  cos( )2



 2U
 2

  45º

2U
 2

  45º

 2U
 2


1
cos(45º )
sin 2 (45º ) 
 kb 2  4 cos(45º )  2

 mgb 2 cos(45º )
3
2

1  cos(45º ) 1  cos(45º ) 2 


1
2 
1
1
2 
 kb 2 
4

2

(
)  mgb
3
2
2 
1  cos(45º ) 1  cos(45º )  2 2 


 1,68481161 2kb 2  mgb

  45º

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 0 y eliminado los
o

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Pero lamasa es m  0,10765

 2U
 2

kb
al sustituir, obtenemos
g

 1,68481161 2kb 2  0,10765 kb 2  1,577161612 kb 2
 45º

Utilizando w
1  2U
w2 

2mb2  2

o

1
1,577161612 kb 2
2
2mb
1
w2 
1,577161612 k
kb
2  0,10765
g
1,577161612 g
w2 
2  0,10765b
g
w 2  7,325413897
b
g
w  2,706550184
b
w2 

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