Ayudantia4 Simulación2 2015 Pauta

Profesor: Felipe González
Ayudante: Allan Villalobos N.
Semestre: 2-2015.

Pauta Ayudantía N° 4
1) Dado F(x), utilizando la técnica de la transformada inversa, igualando F(x) = u se
obtiene:

8𝑢 − 20 < 𝑢 ≤ 0.25
√20(𝑢 − 0.25) 0.25 < 𝑢 ≤ 0.7
𝑥=
20
{ 3 (𝑢 − 0.25) 0.7 < 𝑢 ≤ 1
Donde u es un número aleatorio entre 0 y 1.
Entonces, si 𝑢1 =0.1 nos encontramos en el primer rango, y por lo tanto 𝑥1 = 8𝑢1− 2 =
−1.2, en el caso de 𝑢2 = 0.4 𝑦 𝑢3 = 0.8 se obtiene 𝑥2 = 1.7 𝑦 𝑥3 =
3.7 respectivamente.
𝑥

2) Se pide generar 2 variables aleatorios con distribución 𝑓(𝑥) = 6−1 𝑥𝑒 −6 , 𝑥 ≥ 0. Una
alternativa esusar la técnica de aceptación y rechazo, acotando la función f(x) con
𝑥

una función 𝑐𝑔(𝑥) = 𝐶 ∗

−
𝑒 12

12

1

, dado que se sugiere 𝑔(𝑥)~ exp ( 𝜆 = 12).

Para obtener la constante C tal que 𝑓(𝑥) ≤𝑔(𝑥)𝐶, maximizamos:
𝑥

𝑥
𝑓(𝑥)
6−1 𝑥𝑒 −6
−
=
𝑥 = 2𝑥𝑒 12
𝑔(𝑥) 12−1 𝑒 −12

Derivando e igualando a 0, obtenemos:

2𝑒 −𝑥/12 −
Por lo tanto, x = 12, 𝑐 = 24𝑒 −1

𝑥
2
𝑥𝑒 −12 = 0
12

Entonces, los pasossiguientes son:
i. Generar 𝑦 ~𝑔(𝑥), 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑦𝑖 = −12 ln(1 − 𝑟𝑖 )
𝑓(𝑦)
ii. Si 𝑢𝑖 ≤ 𝑐𝑔(𝑦) , 𝑦𝑖 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑦𝑒 𝑓(𝑦)

Evaluando con los aleatorios proporcionados, se obtiene:
𝑟1 = 0,61 ; 𝑢1 = 0,29
𝑦1 = −12 ln(1 −0,61) = 11,30
𝑓(𝑦1 )
= 0,99
𝑐𝑔(𝑦1 )
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑢1 = 0,29 <

𝑓(𝑦1 )
= 0,99 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑦1 = 11,30 ~ 𝑓( )
𝑐𝑔(𝑦1 )

Para el segundo aleatorio, tenemos:
𝑟2 = 0,42 ; 𝑢2 = 0,12
𝑦1 = −12 ln(1 − 0,42) = 6,53𝑓(𝑦2 )
= 0,85
𝑐𝑔(𝑦2 )
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑢2 = 0,12 <

𝑓(𝑦2 )
= 0,85 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑦2 = 6,53 ~ 𝑓( )
𝑐𝑔(𝑦2 )

𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: 𝑦1 = 11,30 , 𝑦2 = 6,53 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑜𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎𝑑𝑎.

3

𝑥

3) Usando la técnica deaceptación y rechazo, dado 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 2 (1 − 2) , 0 ≤ 𝑥 ≤
2 . es posible acotarla con una función 𝑔(𝑥)~ 𝑈(0,2) de forma de generar
variables aleatorios y con distribución g(y) y solo aceptar una proporciónde ellas (
𝑓(𝑦)

las que cumplen que 𝑟𝑖 ≤ 𝑐𝑔(𝑦), con 𝑟𝑖 ~ 𝑈(0,1), 𝑦 ~𝑔(𝑦))
Entonces para encontrar la constante C maximizamos:
𝑓(𝑥)
𝑥
1
= 3𝑥 2 (1 − ) , 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑔(𝑥)~ 𝑈(0,2) → 𝑔(𝑥) =
𝑔(𝑥)...