Ptolomeo: Teorema De Las Diagonales

PTOLOMEO: TEOREMA DE LAS DIAGONALES

Teorema 8.2.1 (Teorema de Ptolomeo) Un cuadrilátero convexo es cíclico si y sólo si la suma de los productos de los lados opuestos es igual al producto delas diagonales.
Demostración. Consideremos inicialmente un cuadrilátero cíclico convexo ABCD.

Sea E el punto sobre la diagonal BD, tal que ∡BAE=∡CAD.

Tenemos que los triángulos △ABE y △ACDson semejantes, ya que los ángulos ∡BAE y ∡CAD son iguales por definición de E, y ∡EBA=∡DCA por ser inscritos y abrazar el mismo arco AD.Por lo tanto
ABAC=BECD
y de aquí que
AB·CD= AC·BE.También tenemos que los triángulos △AED y △ABC son semejantes, puesto que
∡EAD=∡EAC+∡CAD=∡EAC+∡BAE=∡BAC
y además ∡ADE=∡BCA por ser inscritos y abrazar el mismo arco AB
Por lo tanto
ADAC=EDBCen otras palabras
AD·BC=AC·ED
Sumando miembro a miembro la igualdades que obtuvimos,
AB·CD+AD·BC=AC·BE+AC·ED=AC·BE+ED=AC·BD
Demostramos lo que queríamos.
⇒) Consideremos ahora uncuadrilátero convexo ABCD, el cual cumple con la hipótesis AB·CD+AD·BC=AC·BD.
Sea E el punto tal que ∡BAE=∡CAD y ∡ABE=∡CAD

Para demostrar que ABCD es inscriptible bastará probar que ∡ABD=∡ACD; o loque es lo mismo, que E esté sobre el segmento BD, es decir que
BE+ED=BD.
Por la construcción de E, los triángulos △ABE y △ACD son semejantes, por lo que

ABAC=AEAD=BECD
Y así

ABAE=ACAD ⇒AC· BE=AB·CD.

Por otro lado, observemos que ∡BAC=∡BAE+∡EAC=∡CAD+∡EAC=∡EAD y utilizando la primera identidad, garantizamos que los lados adyacentes a los ángulos ∡BAC y ∡EAD sonproporcionales. Entonces, por el criterio L.A.L. los triángulos △ABC y △AED son semejantes, con lo cual obtenemos que

ACAD=BCED
Y así AC·ED=AD·BC.

Sumando miembro a miembro esta identidad con la segundaque habíamos obtenido, vemos que
BE·AC+AC·ED=AB·CD+AD·BC,

AC·(BE+ED)=AB·CD+AD·BC.
Utilizando la hipótesis de que AB·CD+AD·BC=AC·BD y cancelando AC, concluimos que BE+ED=BD, ya que AC≠0....