PyEC132011

Probabilidades y Estadística (Computación)
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires
Ana M. Bianco y Elena J. Martínez

2004

Inferencia estadística - Estimación puntual
La estadística provee técnicas que permiten obtener conclusiones generales a partir de un
conjunto limitado – pero representativo – de datos. Cuando inferimos no tenemos
garantía de que la conclusiónque obtenemos sea exactamente correcta. Sin embargo, la
estadística permite cuantificar el error asociado a la estimación.
La mayoría de las distribuciones de probabilidad dependen de cierto número de
parámetros. Por ejemplo: P (λ ), N ( μ , σ 2 ), Bi (n, p ), etc. Salvo que estos parámetros se
conozcan, deben estimarse a partir de los datos.
El objetivo de la estimación puntual es usar una muestrapara obtener números que, en
algún sentido, sean los que mejor representan a los verdaderos valores de los parámetros
de interés.
Supongamos que se selecciona una muestra de tamaño n de una población. Antes de
obtener la muestra no sabemos cuál será el valor de cada observación. Así, la primera
observación puede ser considerada una v.a. X1, la segunda una v.a. X2, etc. Por lo tanto,
antes deobtener la muestra denotaremos X1, X2,...., Xn a las observaciones y, una vez
obtenida la muestra, denotaremos x1, x2,...., xn a los valores observados.
Del mismo modo, antes de obtener una muestra, cualquier función de ella será una v.a.,
~
por ejemplo: X , X , S 2 , max ( X 1 ,..., X n ), etc. Una vez obtenida la muestra los valores
calculados serán denotados x , ~
x , s 2 , max( x1 ,..., x n ),etc.
Definición: Un estimador puntual de un parámetro θ es un valor que puede ser
considerado representativo de θ y se indicará θˆ . Se obtiene a partir de alguna función de
la muestra.
Ejemplo: Con el fin de estudiar si un dado es o no equilibrado, se arroja el dado 100 veces
en forma independiente, obteniéndose 21 ases. ¿Qué valor podría utilizarse, en base a
esa información, como estimación de laprobabilidad de as? Parece razonable utilizar la
frecuencia relativa de ases.
En este caso, si llamamos p a la probabilidad que queremos estimar, pˆ =

21
= 0.21
100

Métodos de estimación puntual
¿Cómo obtener estimadores para un problema dado? Estudiaremos dos métodos que
proporcionan estimadores puntuales: el método de momentos y el método de máxima
verosimilitud.
Método de momentos: La ideabásica consiste en igualar ciertas características
muestrales con las correspondientes características poblacionales. Recordemos la
siguiente definición.

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Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires
Ana M. Bianco y Elena J. Martínez

2004

Definición: Sea X una v.a. con función de probabilidad puntual p X (x) en el casodiscreto
o función de densidad f X (x ) en el caso continuo. Se denomina momento de orden k
(k ∈ N) o momento poblacional de orden k a E(Xk), es decir

⎧ ∑ x k p X ( x)
⎪⎪ x
E( X k ) = ⎨ ∞
k
⎪ ∫ x f X ( x) dx
⎪⎩- ∞

en el caso discreto
en el caso continuo

si esas esperanzas existen.
Como ya hemos visto cuando estudiamos función generadora de momentos de una
variable aleatoria, los momentos estánrelacionados con los parámetros de la distribución
asociada.
Definición: Dada una muestra aleatoria X 1 , X 2 ,..., X n , se denomina momento muestral
de orden k a
n

k

∑ Xi

i =1

n
Definición: Sea X 1 , X 2 ,..., X n una m.a. de una distribución con función de probabilidad
puntual o función de densidad que depende de m parámetros θ 1 , θ 2 ,...., θ m . Los
estimadores de momentos de θ 1 , θ 2 ,....,θ m son los valores θˆ1 , θˆ2 ,...., θˆm que se obtienen
igualando m momentos poblacionales con los correspondientes momentos muestrales. En
general, se obtienen resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones
n

∑X
i =1

n

k
i

( )

=E Xk

k = 1,2,..., m

Ejemplos: 1) Sea X 1 , X 2 ,..., X n una m.a. de una distribución exponencial de parámetro λ.
Como hay un solo parámetro a estimar, basta...