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Cap´
ıtulo 1

GEOMETR´
IA

´
´
1.1. METODOS DE DEMOSTRACION

Existen diversos metodos de demostraci´n como lo son la demostraci´n dio
o
recta, indirecta, por contradici´n, etc, y cada uno de ellos se compone de unos
o
conceptos intuitivos no definidos, denominados axiomas o postulados, que se
suponen verdaderos y de unos teoremas que necesitan ser demostrados.

Definici´n 1. Unaproposici´n es una palabra tomada del lenguaje corriente,
o
o
que significa: expresi´n con sentido completo, a estas expresiones se les
o
asigna un valor de verdad, que puede ser verdadero o falso.
Existen tri´ngulos is´sceles que no son equil´teros.
a
o
a
Es costumbre emplear las letras p, q, r, s como s´
ımbolos para designar
proposici´nes
o
Un teorema es un enunciado de tipo
P ⇒Qdonde P y Q son enunciados o proposiciones verdaderas entonces el enunciado P ⇒ Q es verdadero.
1

CAP´
ITULO 1.

2

El enunciado P se llama hipotesis del teorema y el enunciado Q se llama
conclusi´n del teorema.
o
Existen diversos tipos de proposiciones, las llamadas, simples o tambien
abiertas y o cerradas, las compuestas o diatomicas, estas utimas se forman cuan´
do se unenproposiciones simples o compuestas con otras proposiciones simples
o compuestas por medio de los conectores o operadores logicos.
El valor de verdad de una proposicion depende de el valor de
verdad de cada proposici´n y del conector que las une. Si toda la tabla
o
de verdad del enunciado es verdadero se le llama una TAUTOLOGIA, en caso
´
contrario se le dice una CONTRADICCION .
TAREA Del textode Introduccion a la logica matematica de Galicia Arrambide, solucionar TODOS los ejercicios de las paginas 21-22, 25-26,32-33,
37-38.
DEMOSTRACION DE UN TEOREMA
Una demostraci´n de un teorema es una cadena finita de implicaciones que
o
tiene como termino inicial la hipotesis y como termino final la conclusi´n.
o
NOTA: Cuando un enunciado matem´tico no se ha demostrado, pero exisa
tenciertas evidencias que inducen a creer que es verdadero, se dice que dicho
enunciado es una conjetura.
Algunas de las m´s famosas conjeturas a nivel mundial son la de Goldbach
a
, Riemman y la de Fermat que se encuantra en la direcci´n
o
http://www.youtube.com/watch?v=hpPUyZg9M8U,
unas ya han sido demostradas y otras que se encuentran en su proceso de
demostraci´n, de igual forma en geometria seencuentran problemas famosos
o
como es de Gauss que se encuentra en la direccion electronica
http://www.youtube.com/watch?v=mLzAn6Bclhw&feature=related

´
DEMOSTRACION DIRECTA:
Una demostraci´n directa de la forma P ⇒ Q se efectua formando una serie
o
de enunciados verdaderos
P ∧t⇒U
U ⇒V
V ⇒W
...
Z⇒Q

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Donde t es un teorema o un axioma de la demostraci´n entonces se puede
oconcluir que

P ∧t⇒Q
es un enunciado verdadero.
Tambien una hipotesis puede ser de la forma P = (P1 ∧ P2 . . . Pn ) verdadera,
y Q es verdadera.
EJEMPLO 1: si n es un n´mero impar entonces n2 es un n´mero impar.
u
u
Demostraci´n:
o

EJEMPLO 2: la ecuaci´n cuadr´tica ax2 + bx + c = 0 tiene soluci´n
o
a
o

x=

−b ±

√

b2 − 4ac
2a

Demostraci´n:
o

´
´
DEMOSTRACION PORCONTRADICCION:
Tambi´n llamada demostraci´n por reducci´n al absurdo o demostraci´n
e
o
o
o
indirecta, y se define de la siguiente forma:
Si B es una proposici´n para demostrar que es verdadera, por reducci´n al
o
o
absurdo se supone que inicialmente que B es falso, es decir (∼ B )es verdadero,
y se forma una cadena de enunciados de la forma

∼B∧t⇒U
U ⇒V
V ⇒W
...
Z ⇒∼ R

CAP´ITULO 1.

4

Donde t es un teorema o axioma de la teor´ y ∼ R es un enunciado contraıa
dictorio, es decir R y ∼ R son enunciados verdaderos.
Si el enunciado B es de la forma P ⇒ Q y queremos demostrar que B
es verdadero utilizando demostraci´n por contradicci´n, podemos inicialmente
o
o
suponer que la hipotesis P es verdadera y la la conclusi´n Q es falsa , entonces
o
P ⇒ Q es falso...