Que Rayos

MATEMATICA II

INGENIERIA DE SISTEMAS

Universidad César Vallejo L I M A N O R T E

GUIA DE TEORÍA Y PRACTICA SEMANA Nº 3

DERIVADAS PARCIALES Interpretación geométrica de la derivada parcial Recordemos que la gráfica de z = f ( x, y ) representa una superficie S . Si f ( a, b) = c , entonces el punto P = (a, b, c ) está sobre la superficie S . El plano vertical y = b interseca a lasuperficie S en la curva C1 (es decir, C1 es la traza de la superficie S sobre el plano y = b De manera semejante, el plano vertical x = a interseca a la superficie S en la curva C 2 . Ambas curvas pasan por el punto P . Observe que la curva C1 es la gráfica de la función g ( x, b) de manera que la pendiente de su recta tangente T1 en el punto P es:

g ′( a ) = f x ( a, b) La curva

C 2 es lagráfica de la función

g ( y ) = f (a, y )
así que la pendiente de su tangente T2 en el punto P es g ′(b) = f y ( a, b)

Por consiguiente, las derivadas parciales f x ( a, b) y f y ( a, b) pueden interpretarse geométricamente como las pendientes de las rectas tangentes a las curvas C1 y C 2 en el punto P , respectivamente. Las derivadas parciales pueden también ser vistas como razones de cambio. Siz = f ( x, y ) , entonces

f x representa la razón de cambio de

con respecto a x , cuando y permanece fija. De manera con respecto a y , cuando permanece fija.

semejante, f y representa la razón de cambio de

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Definamos la derivada parcial de f respecto a x como:
f x ( x, y ) = Lim f ( x + h , y) − f ( x , y) h h →0

Definamos laderivada parcial de f respecto a y como:
f y ( x, y ) = Lim f ( x , y + h ) − f ( x , y) h h →0

NOTACIONES PARA LAS DERIVADAS PARCIALES Si z = f ( x, y ) , escribimos ∂f ∂ ∂z f x ( x, y ) = f x = = ( x, y ) = = f1 = D1 f = Dx f ∂ x ∂x ∂x ∂f ∂ ∂z f y ( x, y ) = f y = = ( x, y ) = = f 2 = D2 f = D y f ∂ y ∂y ∂y

REGLA PARA CALCULAR LAS DERIVADAS PARCIALES DE z = f ( x, y ) 1- Para calcular f xconsidérese a y como una constante y derive a z = f ( x, y ) con respecto a x . 2- Para calcular f y considérese a x como una constante y derive a z = f ( x, y ) con respecto a y Ejercicios. Hallar las primeras derivadas parciales de: 01- f ( x, y ) = x ln y + y ln x 02- f ( x, y) = x 2 e y
u
2

12- f ( x, y ) = −4e x − y

03- g (u, v) = e ln v 04- f ( x, y ) =
exy x + y
2u v w u 2 + v 2 + w2r st

05- f ( x, y, z ) = x y z + xy 2 + yz 2 + zx 2 06 g (u , v, w) =

e2 x+ y 6 14- f ( x, y ) = 4 x − y e x + 3y2 15- f ( x, y ) = 2 x + y3
16- f ( x, y ) =

13- f ( x, y ) =

−2

07- h(r , s, t ) = e

8x2 y x3 − y

08- f ( x, y, z ) = x e y z 09- f ( x, y ) = − x 2 y + 3 x 4 − 8 10- f ( x, y ) = 5 y 2 − 6 xy 2 + 7 11- f ( x, y ) = e2 x + y

17- f ( x, y ) = ln 2 x − x 2 y 18-f ( x, y ) = ln 4 xy 2 + 3 y 19- f ( x, y ) = x 2 e 2 xy 20- f ( x, y ) = ye5 x + 2 y

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Evalúe las primeras derivadas parciales de la función en el punto dado. 01- f ( x, y ) = x 2 y + xy 2 ; (1, 2) 02- f ( x, y ) = x + xy + y + 2 x − y ; (−1, 2)
2 2

06- f ( x, y) =

x+ y ; (1, − 2) x− y

03- f ( x, y ) = x y + y 2 ; (2,1) 04- g ( x, y ) =07- f ( x, y ) = e x y ; (1, 1) 08- f ( x, y ) = e x ln y ; (0, e) 09 f ( x, y, z ) = x 2 y z 3 ; (1, 0, 2) 10- f ( x, y, z ) = x 2 y 2 + z 2 ; (1,1, 2)

x2 + y 2

; (3, 4)

x 05- f ( x, y ) = ; (1, 2) y

DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR. En las segundas derivadas parciales usaremos la siguiente notación
f xx = f xy = f yx = f yy = ∂ ∂f ∂2 f ( )= ∂x ∂ x ∂ x2
∂ ∂f ∂2 f ( )= ∂y ∂ x ∂ y∂ x ∂∂f ∂2 f ( )= ∂x ∂ y ∂ x∂ y ∂ ∂f ∂2 f ( )= ∂y ∂ y ∂ y2

EJERCICIOS.

I- En los ejercicios del 01 al 15, encuentre las derivadas parciales de segundo orden de la función. En cada caso, muestre que las derivadas fxy parciales mixtas y fyx son iguales 01- f ( x, y ) = x 2 y + x y 3 02- f ( x, y ) = x 3 + x 2 y + x + 4 03- f ( x, y ) = x − 2 xy + 2 y + x − 2 y
2 2

13- z = 4 xe y 14- z = x ln(...