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Funciones exponenciales y logarítmicas

Objetivos
En esta quincena aprenderás a:

• Conocer las características de

la función de proporcionalidad
inversa y los fenómenos que
describen.

• Hallar las asíntotas de una
hipérbola.

• Reconocer y representar

funciones exponenciales.

• Aplicar las funciones

exponenciales al interés
compuesto y otras situaciones.

• Calcular el logaritmo de unnúmero.

• Interpretar las gráficas de las
funciones logarítmicas.

1.Funciones racionales …………………… pág. 166
Función de proporcionalidad inversa
Las asíntotas
Otras funciones racionales
2.Funciones exponenciales ………….… pág. 169
Características
Crecimiento exponencial
Aplicaciones
3.Funciones logarítmicas ………… …… pág. 172
Función inversa de la exponencial
Función logarítmica
Logaritmos
Ejerciciospara practicar
Para saber más
Resumen
Autoevaluación
Actividades para enviar al tutor

MATEMÁTICAS B „

163

164

„ MATEMÁTICAS B

Funciones exponenciales y logarítmicas
Antes de empezar

Recuerda
El curso pasado estudiaste las progresiones tanto aritméticas como geométricas, en el
cuadro puedes repasar estas últimas, te vendrá bien para comprender mejor la función
exponencial.

Progresionesgeométricas
Una progresión geométrica está
constituida por una secuencia de
elementos en la que cada uno se
obtiene del anterior multiplicándolo
por una constante denominada razón
de la progresión.

Investiga
Benjamin Franklin, famoso científico y estadista,
dejó un legado de 1000 libras a las ciudades de
Boston y Filadelfia para que se prestasen a
jóvenes aprendices al 5% anual. Según Franklin
al cabode 100 años se habrían convertido en
131000 libras, de las cuales 100000 serían para
obras públicas y las 31000 restantes volverían a
utilizarse como préstamos otros 100 años.
¿Calculó bien?.

MATEMÁTICAS B „

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Funciones exponenciales y logarítmicas
1. Funciones racionales
Función de proporcionalidad inversa
La función de proporcionalidad inversa relaciona dos
magnitudes inversamenteproporcionales.
Su expresión algebraica es: f(x) =

k
x

Su gráfica es una hipérbola. En la figura se puede
ver el trazado de f(x)=1/x.
Haciendo una tabla de valores:
x

1

2

0,5

4

0.25

-1

-2

-0.5

f(x)

1

0,5

2

0,25

4

-1

-0,5

-2

A partir de ésta observa cómo cambia la gráfica al
variar el valor de la constante k:

• El dominio y el recorrido
•
•

•

son todos los reales excepto
el 0.
Es
unafunción
impar:
f(-x)=k/(-x)=-f(x).
Si
k>0
la
función
es
decreciente y su gráfica
aparece en los cuadrantes 1º
y 3º.
Si
k<0
la
función
es
creciente y su gráfica está
en el 2º y 4º cuadrante.

Las asíntotas
En la gráfica de la función f(x)=k/x se puede observar
como las ramas de la hipérbola se aproximan a los
ejes de coordenadas, son las asíntotas.
Cuando la gráfica de una función se acerca cadavez
más a una recta, confundiéndose con ella, se dice que
la recta es una asíntota.
Aunque estas rectas pueden llevar cualquier dirección
en el plano aquí nos limitaremos a las:

9 Asíntotas verticales. La recta x=a es una

asíntota vertical de la función si se verifica que
cuando el valor x tiende al valor a, el valor de
f(x) tiende a valores cada vez más grandes,
f(x)→+∞, ó más pequeños, f(x)→-∞.o

9 Asíntotas horizontales. La recta y=b es una

asíntota horizontal de la función si se verifica
que cuando x→+∞ ó x→-∞, el valor de
f(x)→b.

166

„ MATEMÁTICAS B

o

Asíntota vertical x=1
x→1+ (por la derecha) f(x)→+∞
x→1- (por la izquierda) f(x)→- ∞
Asíntota horizontal y=1
x→+∞
f(x)→ 2
x→- ∞
f(x)→ 2

Funciones exponenciales y logarítmicas
Otras funciones racionales
Las funciones racionalesson las que su expresión
algebraica es un cociente de polinomios.

f(x) =

Calcular las asíntotas
• El denominador es 0 si x=1, AV: x=1
• Al dividir numerador por denominador
2x –3
-2x +2
Resto: –1

f(x) =

x–1
2 Cociente

2x − 3
−1
=
+ 2 AH: y=2
x −1
x −1

Y el resto indica la forma de la
hipérbola, como la y=-1/x

P(x)
Q(x)

•

Su dominio son todos los reales excepto los
que anulan el...