Raices De Ecuaciones No Lineales

1. RAICES DE ECUACIONES NO LINEALES

En análisis numérico un algoritmo de búsqueda de raíces es un método numérico o algoritmo para encontrar las soluciones aproximadas de una ecuación dada por la expresión f(x) = 0 para una función matemática f dada. A la solución x de la ecuación se le llama raíz o cero de la función.
Igualmente, resolver la ecuación f(x) = g(x) es análogo a resolver laecuación f − g = 0, es decir, encontrar las raíces de la función f - g.
Los métodos numéricos de resolución de ecuaciones no lineales suelen ser métodos iterativos que producen una sucesión de valores aproximados de la solución, que se espera, que converja a la raíz de la ecuación. Estos métodos van calculando las sucesivas aproximaciones en base a los anteriores, a partir de una o variasaproximaciones iniciales.
El comportamiento de los algoritmos de búsqueda de raíces se estudia en análisis numérico. Funcionan mejor cuando se toman en cuenta las características de la función. Para saber que método debemos aplicar, hay que tener en cuenta la capacidad de separar raíces cercanas, confiabilidad en el alcance de soluciones evitando errores numéricos graves y orden de convergencia.
1.1Concepto Matemático Clásico
Consideremos la ecuación cuadrática general .
Se puede resolver al completar el cuadrado, factorizar o por fórmula general que es la siguiente

Analizando la raíz cuadrada, se llega a las siguientes conclusiones:
Si  es menor que  los resultados de X serán dos valores con parte real y parte imaginaria. Es decir, el resultado sera un número complejo.
Si  es mayorque  obtendremos dos valores distintos de X reales.
Y si  es igual que  obtendremos dos valores de X reales e iguales.
Al término  se le llama discriminante.
tomando en cuenta el orden de los terminos: "a","b"y"c"=x²+2x+3

1.2 Utilidad en la Ingeniería Industrial
Como Ingenieros Industriales es importante identificar cuándo podemos utilizar los métodos aprendidos en clase, no solamentefilosofías, si no también herramientas que nos ayuden a resolver problemas y nos lleven a una solución correcta.
1.3 Procedimiento Método de la Secante 
El método de la secante es muy similar al de Newton con la diferencia principal que en este método de la secante no requiere de la segunda derivada.

Este método funciona por medio de dos puntos sobre el eje x, es decir un intervalo (xi-1,xi), loscuales se evalúan en la función para sacar los puntos correspondientes en el eje de la y, los puntos a obtener son f(xi-1) y f(xi), por lo que las coordenadas de los puntos que interceptan a la función son (xi-1,f(xi-1)) y el (xi ,f(xi)).
 
Se debe considerar que los puntos xi-1 y xi deben de contener a la raíz, por lo que el punto xi-1 debe estar a la izquierda y el punto xi a la derecha de la raíz. 
Estos dos puntos que interceptan a la función, se unen por medio de una recta, la cual al cruzar el eje de la x, genera el siguiente punto de acercamiento xi+1 , el cual quedara ubicado entre el intervalo propuesto.
El método de la secante parte de dos puntos (y no sólo uno como el método de Newton) y estima la tangente (es decir, la pendiente de la recta) por una aproximación de acuerdocon la expresión:
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Sustituyendo esta expresión en la ecuación del método de Newton, obtenemos la expresión del método de la secante que nos proporciona el siguiente punto de iteración:
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Figura: Representación geométrica del método de la secante. |
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En la siguiente iteración, emplearemos los puntos x1 y x2 para estimar un nuevo punto más próximo ala raíz de acuerdo con la ecuación de arriba. En la figura se representa geométricamente este método.
 
Algoritmo
Para encontrar una raíz real de la ecuación f(x) = 0, proporcionar la función F(X) y los |
 DATOS:Valores iniciales X0, X1, criterio de convergencia CDC, criterio de exactitud CDE y número máximo de iteraciones MAXIT.  |
  | RESULTADOS: | La raíz aproximada X o un mensaje...