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Proyecto “Algebra Lineal para Todos” Profesor José Arturo Barreto Gutiérrez Caracas Web: www.abaco.com.ve www.miprofe.com.ve www.abrakadabra.com.ve Aplicaciones de las Matrices a la Solución de Problemas de Redes Eléctricas Resumen Se muestra como obtener, sistemas de ecuaciones lineales que permitan calcular intensidades de corrientes en los ramales del mismo y diferencias de voltajes entrenodos, a partir de datos como fuerzas electromotrices de baterías (voltajes) y resistencias, en circuitos eléctricos en forma de red. Se explica el método de solución de ecuaciones lineales simultáneas, denominado descomposición LU. Se aplican los métodos de análisis de corrientes por bucles y análisis de voltajes por nodos, concluyéndose que el método de análisis de corrientes por bucles producematrices diagonal dominantes y positivo definidas y que en cualquiera de estos métodos, la matriz del sistema de ecuaciones es una matriz simétrica, no singular, con solución única. Se muestra además que estos procedimientos llevan a expresiones matriciales de la ley de Ohm, como RI = V, en el caso del análisis de corrientes por bucles y SV= I, en el caso del análisis de voltajes por nodos. Porsupuesto que esta es otra forma equivalente de la ley de Ohm, ya que como S es una matriz no singular, V = S-1I. V e I son vectores de voltajes y corrientes respectivamente. Capítulo I. 1. Planteamiento del problema Las matrices tienen un número cada vez mas creciente de aplicaciones en la solución de problemas en Ciencia y Tecnología. Se aplicarán aquí al cálculo de corrientes en una “red eléctrica”.Se dará tratamiento especial al recálculo de las intensidades de las corrientes en cada “bucle” de la red cuando se modifican las fuerzas electromotrices de las fuentes, debido a fallas o cambios en las mismas. Ilustraremos esto a a partir de un ejemplo: El siguiente diagrama presenta un modelo sencillo de una red eléctrica constituida por baterías, cables y resistencias.

Proyecto “AlgebraLineal para Todos” Profesor José Arturo Barreto Gutiérrez Caracas Web: www.abaco.com.ve www.miprofe.com.ve www.abrakadabra.com.ve A partir de las leyes de Kirchoff que señalan que la suma de las fuerzas electromotrices de fuentes (baterías u otros generadores de energía) en cada “bucle” de la red es igual a la suma de los productos IR ( intensidad x resistencia), se llega al sistema de ecuacioneslineales simultáneas: 76i1 − 25i 2 − 50i 3 = 10 − 25i1 + 56i 2 − i 3 = 0 − 50i1 − i 2 + 106i 3 = 0 El sistema de ecuaciones en forma matricial sería: RI = V (Expresión matricial de la ley de Ohm), en donde:

 76 − 25 − 50   i1   ξ1    i  V =  ξ  R =  − 25 56 −1  I =  2   2  − 50 − 1 106  ξ  i 3     3   Las filas de la Matriz R provienen de las sumas de las resistenciasen el bucle i, los cuales son los elementos de la diagonal rii , los otros elementos de la fila, los rij , i ≠ j
corresponden a las resistencias comunes al ramal frontera entre los bucles i, j, i ≠ j con signo negativo. El problema que se plantea es recalcular el vector columna I, a partir de cambios en el vector columna de las fuerzas electromotrices (voltajes) V, debido a fallas en las fuentesu otros cambios posiblemente inesperados.

Una manera que pareciera natural es recalcular I a partir de la ecuación I = R-1V, ya que la matriz R siempre es no singular, método que se considera inconveniente por razones que se citarán en el estudio. Se planteará, la conveniencia de utilizar la descomposición LU en su lugar.
2. Objetivos del proyecto 2.1. Objetivo general

Presentar de unamanera ejemplar y sencilla la utilización de métodos matriciales, como alternativa conveniente en la solución de problemas de redes eléctricas.
2.2. Objetivos específicos 2.2.1. Describir las condiciones que hacen que el método de Gauss y la descomposición LU, sean estables en el caso de los problemas de redes eléctricas, en donde no es necesario apelar a métodos mas sofisticados como la escogencia...
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