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Problemas de Rotacional y Divergencia

1) Divergencia y rotacional. Sea F un campo vectorial diferenciable y r el vector posición. Demostrar que la divergencia del campo vectorial Fr es igual alproducto interno de r y el rotacional de F.

Solución

Sea:

F(x; y; z) = (F1(x; y; z); F2(x; y; z); F3(x; y; z))
r(x; y; z) = (x; y; z)

Tenemos:


2) Principio de Cavalieri. Determinarpor el principio de Cavalieri el volumen de un toro de revolución caracterizado por los radios r y R.

Solución

Expresado en términos más pedestres, un toro es una argolla que se obtiene haciendorotar un disco de radio r alrededor de un punto situado a una distancia R del centro del disco. En la figura apreciamos las vistas transversal y superior del toro. Si cortamos transversalmente el toroa una cierta altura z, la sección será una corona circular de los siguientes radios mayor y menor:

radio mayor:
radio menor:

(Dejamos al alumno demostrar esto usando el teorema de Pitágorasy el hecho de que el radio del disco que rotando genera el toro es r.)

El área de la corona circular vendrá dada entonces por:




Y ésta es el área transversal que se obtiene seccionando eltoro con un plano a una altura z. Por el principio de Cavalieri, para obtener el volumen del toro tenemos que integrar estas áreas transversales entre el mínimo z y el máximo z, los cuales valores sepuede ver en la figura que son -r y r:


3) Calcular , donde D es la región limitada por el cuadrado .

Solución

Desarrollando la expresión para los cuatro cuadrantes (esto es, reemplazandolos valores absolutos de x y y por x, -x, y o -y según corresponda) llegamos a que la región de integración es el cuadrado de la figura. Por lo tanto podemos expresar la integral de la siguiente manera:4) Cambio en el orden de integración. Calcular

Solución

El integrando no reconoce una primitiva de sencilla formulación, sino que la misma...