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Matemáticas
1
1

EJERCICIOS RESUELTOS:

Funciones de varias variables

Elena Álvarez Sáiz
Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación
Universidad de Cantabria

Ingeniería de Telecomunicación

Ejercicios: Func. varias variables

Fundamentos Matemáticos I

1

Dada las superficies
(1)

z = x 2 + y2

Se pide:
(a) Representar las trazas
(b) Obtener las curvas de nivel
(c)Realizar un bosquejo de su gráfica
Se trata de un paraboloide

Al cortar por planos x=cte: Parábolas z = cte + y 2

2

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

(2)

y =

x2 z2
−
4
9

Ejercicios: Func. varias variables

Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I

Al cortar por planos y=cte: Parábolas z = x 2 + cte

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

S

3

Ingenieríade Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I

Ejercicios: Func. varias variables

Al cortar por planos z=cte (curvas de nivel): Circunferencias Cte = x 2 + y 2

4

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

(Cte > 0 )

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Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I

(2) Se trata de un hiperboloide

Curvas x=cte: Parábolas y = Cte −

z2
9Profesora: Elena Álvarez Sáiz

S

5

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Fundamentos Matemáticos I

Ejercicios: Func. varias variables

Curvas y=cte: Hipérbolas Cte =

Curvas: z=cte: Parábolas y =

2

6

x 2 z2
−
4
9

x2
− Cte
4

x +y

Representar el dominio de la función f ( x, y ) =

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

x 2 − y 2 e x −y

Ejercicios: Func. variasvariables

Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I

El dominio es el conjunto de los puntos Domf =

{( x, y ) ∈ »2 / ( x . − y )( x + y ) ≥ 0,

x ≠ y}

es decir, los puntos del plano comprendidos entre las rectas x=y, x=-y salvo los de la recta
x=y, gráficamente

3

Se considera la función f ( x , y ) = e xy +

x
∂f ∂f ∂2 f
∂2 f
+ sen ( ( 2x + 3y ) π ) . Calcular,
,
,
, fx ( 0,1 ) ,
y
∂x ∂y ∂x 2 ∂x ∂y

fy ( 2, −1 ) , fxx ( 0,1 ) , fxy ( 2, −1 ) .

Solución:
∂f
1
= ye xy + + 2π cos ( ( 2x + 3y ) π )
∂x
y
∂f
x
= xe xy −
+ 3π cos ( ( 2x + 3y ) π )
∂y
y2
∂2 f
∂x

2

2

= y 2e xy − ( 2π ) sen ( ( 2x + 3y ) π )

1
∂2 f
= e xy + xye xy −
− 6π2sen ( ( 2x + 3y ) π )
2
∂x ∂y
y

fx ( 0,1 ) = 1 + 1 + 2π cos ( 3π ) = 2 − 2π

4Dada la función

 xy 4 − x 4y



f (x , y ) =  x 3 + y 3



0




x ≠ −y
x = −y

a) Hallar fx ( 0, 0 ) y fy ( 0, 0 )
b) Calcule fx ( x , y ) y fy ( x , y )
c) Es fxy ( 0, 0 ) = fyx ( 0, 0 ) ?

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

S

7

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Ejercicios: Func. varias variables

Fundamentos Matemáticos I

Solución:
f (0 + h, 0) −f (0, 0)
h →0
h

a ) fx (0, 0) = lim

(0 + h )04 − (0 + h )4 0
= lim

h →0

(0 + h )3 + 03
h

−0
= lim

0

h →0 h 4

f (0, 0 + h ) − f (0, 0)
h →0
h
0(0 + h )4 − 04 (0 + h )

=0

fy (0, 0) = lim

= lim

h →0

= lim

0

h →0 h 4

03 + (0 + h )3
h

−0

=0

b) Supongamos ahora que ( x, y ) con x ≠ −y , entonces

fx =
fy =

(y 4 − 4x 3y )(x 3 + y 3 )− (xy 4 − x 4y )(3x 2 )
(x 3 + y 3 )2
(4xy 3 − x 4 )(x 3 + y 3 ) − (xy 4 − x 4y )(3y 2 )
(x 3 + y 3 )2

En los puntos ( a, −a ) se tendrá:

fx (a, −a ) = lim

h→0

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Profesora: Elena Álvarez Sáiz

f (a + h, −a ) − f (a, −a )
h

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Ejercicios: Func. varias variables

Fundamentos Matemáticos I

4

= lim

4

(a + h )( −a ) − (a + h ) ( −a)
−0
3
3
a + h ) + ( −a )
(

h →0

h

4

4

(a + h )( −a ) − (a + h ) ( −a )
3
3

h →0
h  ( a + h ) + ( −a ) 

= lim





5

Como el numerador tiende a 2a y el denominador a cero este límite no existe para a ≠ 0 .

c)


∂  ∂f 
  (0, 0)
 
 ∂x 
∂y  

∂  ∂f 
  (0, 0) = ∂fx (0, 0) = lim fx (0, 0 + h ) − fx (0, 0)
 
 ∂x 
h →o
∂y...