Reglamento Interno Santiago Mariño

CAPITULO VII
LA ELIPSE
60. Definiciones. Una elipse es el lugar geom6trico de un punto
que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias
a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante, mayor
que la distancia entre 10s dos puntos.
Fig. 86
Los dos puntos fijos se llaman focos de la elipse. La definicidn de
una elipse excluye el caso en que el punto mdvilest6 sobre el segmento
que une 10s focos .
Designemos por F y Fr (fig. 86) 10s focos de una elipse . La recta
1 que pasa por 10s focos tiene varios nombres ; veremos que es conveniente
introducir el tdrmino de eje focal para designar esta recta.
El eje focal corta a la elipse en dos puntos , 1.I y V r , llamados virtices.
La porcidn del eje focal comprendida entre 10s v&rtices, el segmentoVVr , se llama eje mayor. El punto C del eje focal, punto medio del
segment0 que une 10s focos , se llama centro . La recta Z r que pasa por
174 GEOMETRIA ANALITICA PLANA
C y es perpendicular a1 eje focal 1 tiene varios nombres ; encontraremos
conveniente introducir el thrmino eje normal para designarla . El
eje normal I t corta a la elipse en dos puntos , A y A t , y el segmento
AAt sellama eje menor. Un segmento tal como BB' , que une dos
puntos diferentes cualesquiera de la elipse , se llama cuerda. En particular,
una cuerda que pasa por uno de 10s focos , tal como EE' , se
ilama cuerda focal. Una cuerda focal , tai como LL , perpendicular
a1 eje focal 1 se llama lado recto. Evidentemente como la elipse tiene
dos focos , tiene tambihn dos lados rectos. Una cuerda que pasapor C ,
tal como DDt , se llama un dicimetro . Si P es un punto cualquielSa de
la elipse , 10s segmentos FP y FtP
Y que unen 10s focos con el punto P se
llaman radios vectores de P .
61. Ecuaci6n de la elipse de
centro en el origen y ejes de coorde-
V . nadas 10s ejes de la elipse. Consiremos
l a elipse de centro en el
origen y cuyo eje focal coincide con
A' el eje X (fig. 87). Los focosF y Ft
esthn sobre el eje X. Como el cen-
Fig. 87 tro 0 es el punto medio del segmento
FFt, las coordenadas de
F y Ft ser4n , por ejemplo , ( c , 0) y (- c , 0) , respectivamente,
siendo c una constante positiva. Sea P ( z , y) un punto cualquiera
de la elipse. Por la definici6n de la curva , el punto P debe satisfacer
la condici6n geomhtrica
en donde a es una constante positiva mayor quec.
Por el teorema 2 , Articulo 6 , tenemos
de manera que la condici6n geometrica ( 1 ) estti expresada analiticamente
por la ecuaci6n
Para simplificar la ecuaci6n ( 2 ) , pasamos el segundo radical a1
segundo miembro , elevamos a1 cuadrado , simplificamos y agrupamos
10s tkrrninos semejantes. Esto nos da
LA ELIPSE
Elevando a1 cuadrado nuevamente , obtenernos
de donde ,
(a2-c2)x2 + a2yZ =a2(a2 - c Z ) . (3)
Como 2a > 2c es a2 > c2 y a2 - c2 es un niimero positivo que
puede ser reemplazado por el nlirnero positivo b2 , es decir ,
Si en (3) reemplaxalnos a2 - c2 por bZ , obtenernos
y dividiendo por a' b2, se obtiene , finalmente ,
Reciprocarnente, sea PI ( X I , X I ) un punto cualquiera cuyas coordenadas
satisfacen la ecuacidn ( 5 ) , de rnanera que
Invirtiendo el orden deIns operaciones efectuadas para pasar de la
ecuaci6n ( 2 ) a la ( 5 ) , y dando la debida interpretaci6n a 10s signos
de 10s radicales, podemos demostrar que la ecuaci6n (6) conduce a la
relaci6n
d ( X I - c )+~ y 12 + d ( X I + c )+~ y1 2 = 2a,
que es la expresidn analitica de la condici6n geomdtrica (1) aplicada
a1 punto P I . Por tanto, PI estsl sobre la elipse cuya ecuaci6n est&
dadapor ( 5 ) .
Ahora discutirernos la ecuaci6n ( 5 ) de acuerdo con el Artfculo 19.
Por ser a y - a las intersecciones con el eje X, las coordenadas de
10s vQtices V y V I son (a , 0) y (- a , 0 ) , respectivamente , y la
longitud del eje mayor es igual a 2a, la constante que se menciona en
la definici6n de la elipse . Las intersecciones con el eje Y son b y - b .
Por tanto, las coordenadas de...