Regresión Logística

4 Regresión Logística
En el modelo lineal múltiple se supone una que existe una relación lineal entre una variable Y y k-1 variables independientes X2,X3,…..Xk y un término de perturbación aleatorio u conocida como error. Si se dispone de una muestra de tamaño n de observaciones en Y y en X2,X3,…..Xk se cumplen n ecuaciones de la forma:

Fórmula

Si los coeficientes βi y los parámetros de ladistribución de los errores ui son desconocidos, se tiene como problema inicial disponer de estimaciones de tales parámetros. En forma matricial, el modelo el modelo es más manejable y se puede expresar como sigue:

Fórmula

Donde X es la matriz de datos, β es el vector de coeficientes del modelo, Y y u son vectores de valores de la variable dependiente y de los errores.Los supuestos básicosque son importantes para cumplir con el proceso de estimación e inferencia que se deriven del modelo son los siguientes:
X es una matriz de rango k n es una matriz de números sin propiedades probabilísticas

Fórmula

La variable dependiente Y es una variable aleatoria distribuida normalmente por efecto de los errores aleatorios u.
Sin embargo considérese ahora el caso de que la variabledependiente Y solamente puede asumir lo valores 0 y 1. Evidentemente el principio de normalidad no se cumple, sin embargo no se puede ignorar que hay múltiples problemas en los que se puede dar esta situación, como ejemplo baste mencionar los siguientes:
En un ensayo clínico se tiene una muestra de pacientes sometidos a diferentes condiciones de terapia y como resultado los pacientes se recuperan ono se recuperan.

Y = 1 el paciente se recupera
Y = 0 el paciente se no recupera

Ante diferentes condiciones laborales un grupo de trabajadores puede estar a favor o en contra de un contrato colectivo de trabajo.

Y = 1 a favor del contrato
Y = 0 en contra del contrato

Las condiciones económicas, sociales y culturales de los electores dan lugar a que éstos estén a favor o en contra deun candidato a un puesto de gobierno.
Y = 1 a favor del candidato
Y = 0 en contra del candidato

La calidad de un producto, la marca que lo respalda, la publicidad que lo impulsa, su precio de compra, las necesidades que resuelve, etc.; definen que el cliente lo compre o se decida por cualquier producto alterno.

Y = 1 el cliente compra el producto
Y = 0 el cliente no compra el productoEjemplo 1 Síndrome de Insuficiencia Respiratoria.
Ahora abordemos un ejemplo concreto. Se tienen datos de 50 niños que nacieron afectados por un síndrome de insuficiencia respiratoria aguda (SIRDS). Los datos corresponden a la condición de sobreviencia de los niños y el peso en Kg. Al nacer. Se pretende conocer la probabilidad de sobrevivencia en función del peso.

Tabla

Para iniciar elanálisis de los datos se procedió a calcular el peso promedio de los niños por su condición de sobrevivencia. Se observa que de los 50 niños sobrevivieron 23 y 27 no sobrevivieron. El peso promedio de los niños sobrevivientes (1) es sensiblemente mayor que el de los que no sobrevienres (0).
El error estándar del peso promedio entre los sobrevientes es también claramente mayor.

Estadísticas básicasdel peso de niños afectados por SIRDS

Tabla

A continuación se elaboró un diagrama de dispersión de los pesos versus la condición de sobrevivencia a la insuficiencia respiratoria aguda. Se observan los casos separados de sobrevivientes y no sobrevivientes por los niveles 0 y 1. La mayor dispersión identificada en el cálculo de estadísticas básicas del peso de los niños sobrevivientes quedaclaramente ilustrada en la gráfica, así como cierto desplazamiento de los puntos correspondientes hacia pesos mayores.

Gráfica

Ajuste del Modelo Lineal Simple.
Sin reflexionar mucho en torno al cumplimiento de los supuestos del modelo, considérese la alternativa de ajustar un modelo lineal simple al problema que nos ocupa mediante SPSS. Para ello, los datos han sido estructurados en un...