Regresion Lineal Simple
Páginas: 37 (9169 palabras)
Publicado: 26 de noviembre de 2012
Validación del Modelo
Una primera aproximación para validar un modelo lineal es obtener gráficas de los residuos. El i-esimo residuo está dado por:
ˆ ˆ ei = yi − ( β 0 + β1 xi )
Y sus propiedades son:
ˆ ˆ ˆ E Yi − Yi = E (Yi ) − E β0 + β1 xi = β0 + β1 xi − ( β0 + β1 xi ) = 0 1 (x − x) ˆ V Yi − Yi = σ 2 1 − − i S xx n
(
)
(
)
(
)
Ç
Ç
Sabemos que cada residuo está normalmente distribuido. Entonces se puede calcular también los residuos estandarizados:
ei* =
ˆ yi − yi
( xi − x ) 1 s 1− − n ∑ ( xi − x )2
2
i = 1, . . . , n
EJEMPLO: Considere los datos del ejemplo 13.1, Devore (6ta y 7ma ed.)
x 100 125 125 150 150 200 200 250 250 300 300 350 400 400y 150 140 180 210 190 320 280 400 430 440 390 600 610 670
INTERPRETACIÓN: Si, por ejemplo, un residuo estandarizado es 1,5, entonces el residuo es 1,5 desviaciones estándar (estimadas) más grande de lo que se esperaría de ajustar el modelo correcto. Matemáticamente
ei* = 1,5 ⇒ 1,5 =
ˆ yi − yi ˆ ˆ ⇒ yi − yi = 1,5σ ei * ˆ σ ei *
Ç
Ç
Gráficas de Diagnóstico
Residuos Estandarizados v/s Variable Independiente
2,00
e*
1. 2. 3. 4.
ei* v/s xi ^ ei* v/s yi ^ yi v/s yi Un gráfico de probabilidad normal de los residuos estandarizados. 5. ei* v/s tiempo
1,00
0,00 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
-1,00
-2,00
-3,00 x
Ç
Ç
Residuos Estandarizados Vs. Valores Pronosticados
2,00 700
Pronósticos Vs. Valores Observados
1,50
600
1,00 500 0,50 400 0 -0,50 200 100 200 300 400 500 600 700 y^ 300 100 0 0 -2,50 ^y 100 200 300 400 y 500 600 700 800 0,00 e* -1,00 -1,50 -2,00
Ç
Ç
Gráficode Probabilidad Normal
2,5 2 1,5 1 0,5 e* 0 -2 -1,5 -1 -0,5 -0,5 -1 -1,5 -1,5 -2 -2,5 Percentil z -2 0 0,5 1 1,5 2 Residuos Estandarizados 0,5 2
Autocorrelación
1,5
1
0 0 -0,5 2 4 6 8 10 12 14 16
-1
-2,5 Tiempo
Ç
Ç
¿Qué es la autocorrelación?
El tercer supuesto fundamental en losmodelos de regresión dice que los errores deben ser independientes. Cuando tal independencia no se presenta, decimos que está presente la autocorrelación. Ésta se puede presentar de dos formas: autocorrelación positiva ó autocorrelación negativa. La autocorrelación es positiva cuando a un residuo estandarizado positivo le sigue otro positivo, así como a un residuo estándar negativo le sigue otronegativo. Una secuencia clásica es: + + + + + + - - - - - Este tipo de autocorrelación sólo es aparente y puede eliminarse mediante la inclusión de las variables omitidas en el modelo de regresión.
La autocorrelación es negativa cuando a un residuo estandarizado positivo le sigue otro negativo, así como a un residuo estándar negativo le sigue otro positivo. Una secuencia clásica es: + - + - + - +- + - + Ç
Ejemplo de autocorrelación negativa
Ç
¿Cómo la detectamos? 1. Si es muy raro que los residuos cambien de signo (mucho menos que la mitad de las veces), entonces quizás incumplan la suposición de independencia, y probablemente esté presente la autocorrelación positiva. Si los residuos cambian de signo conmucha frecuencia (mucho más que la mitad de las veces), quizás incumplan la suposición de independencia, por lo que es probable que esté presente la autocorrelación negativa. Si los residuos cambian de signo alrededor de la mitad de las veces, es probable que satisfagan la suposición de independencia.
Ç
Prueba de Durbin-Watson
Para...
Una primera aproximación para validar un modelo lineal es obtener gráficas de los residuos. El i-esimo residuo está dado por:
ˆ ˆ ei = yi − ( β 0 + β1 xi )
Y sus propiedades son:
ˆ ˆ ˆ E Yi − Yi = E (Yi ) − E β0 + β1 xi = β0 + β1 xi − ( β0 + β1 xi ) = 0 1 (x − x) ˆ V Yi − Yi = σ 2 1 − − i S xx n
(
)
(
)
(
)
Ç
Ç
Sabemos que cada residuo está normalmente distribuido. Entonces se puede calcular también los residuos estandarizados:
ei* =
ˆ yi − yi
( xi − x ) 1 s 1− − n ∑ ( xi − x )2
2
i = 1, . . . , n
EJEMPLO: Considere los datos del ejemplo 13.1, Devore (6ta y 7ma ed.)
x 100 125 125 150 150 200 200 250 250 300 300 350 400 400y 150 140 180 210 190 320 280 400 430 440 390 600 610 670
INTERPRETACIÓN: Si, por ejemplo, un residuo estandarizado es 1,5, entonces el residuo es 1,5 desviaciones estándar (estimadas) más grande de lo que se esperaría de ajustar el modelo correcto. Matemáticamente
ei* = 1,5 ⇒ 1,5 =
ˆ yi − yi ˆ ˆ ⇒ yi − yi = 1,5σ ei * ˆ σ ei *
Ç
Ç
Gráficas de Diagnóstico
Residuos Estandarizados v/s Variable Independiente
2,00
e*
1. 2. 3. 4.
ei* v/s xi ^ ei* v/s yi ^ yi v/s yi Un gráfico de probabilidad normal de los residuos estandarizados. 5. ei* v/s tiempo
1,00
0,00 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
-1,00
-2,00
-3,00 x
Ç
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Residuos Estandarizados Vs. Valores Pronosticados
2,00 700
Pronósticos Vs. Valores Observados
1,50
600
1,00 500 0,50 400 0 -0,50 200 100 200 300 400 500 600 700 y^ 300 100 0 0 -2,50 ^y 100 200 300 400 y 500 600 700 800 0,00 e* -1,00 -1,50 -2,00
Ç
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Gráficode Probabilidad Normal
2,5 2 1,5 1 0,5 e* 0 -2 -1,5 -1 -0,5 -0,5 -1 -1,5 -1,5 -2 -2,5 Percentil z -2 0 0,5 1 1,5 2 Residuos Estandarizados 0,5 2
Autocorrelación
1,5
1
0 0 -0,5 2 4 6 8 10 12 14 16
-1
-2,5 Tiempo
Ç
Ç
¿Qué es la autocorrelación?
El tercer supuesto fundamental en losmodelos de regresión dice que los errores deben ser independientes. Cuando tal independencia no se presenta, decimos que está presente la autocorrelación. Ésta se puede presentar de dos formas: autocorrelación positiva ó autocorrelación negativa. La autocorrelación es positiva cuando a un residuo estandarizado positivo le sigue otro positivo, así como a un residuo estándar negativo le sigue otronegativo. Una secuencia clásica es: + + + + + + - - - - - Este tipo de autocorrelación sólo es aparente y puede eliminarse mediante la inclusión de las variables omitidas en el modelo de regresión.
La autocorrelación es negativa cuando a un residuo estandarizado positivo le sigue otro negativo, así como a un residuo estándar negativo le sigue otro positivo. Una secuencia clásica es: + - + - + - +- + - + Ç
Ejemplo de autocorrelación negativa
Ç
¿Cómo la detectamos? 1. Si es muy raro que los residuos cambien de signo (mucho menos que la mitad de las veces), entonces quizás incumplan la suposición de independencia, y probablemente esté presente la autocorrelación positiva. Si los residuos cambian de signo conmucha frecuencia (mucho más que la mitad de las veces), quizás incumplan la suposición de independencia, por lo que es probable que esté presente la autocorrelación negativa. Si los residuos cambian de signo alrededor de la mitad de las veces, es probable que satisfagan la suposición de independencia.
Ç
Prueba de Durbin-Watson
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