Regresiones

EJEMPLO DE REGRESIÓN LINEAL Y NO LINEAL
A partir de las siguientes observaciones para 5 años de las variables X e Y,
ajústese el modelo de regresión de Y en función de X más idóneo.
Donde,
Y:producción nacional de un subsector industrial, en millones de toneladas.
X: tiempo
Año
1995
1996
1997
1998
1999

X
1
2
3
4
5

Y
1,25
5
11,25
20
30,5

1.- Ajuste de una funciónlineal: Y* = a + b X

Σ
1/5 Σ

b=

X
1
2
3
4
5
15
3

Y
1,25
5
11,25
20
30,5
68
13,6

X2
1
4
9
16
25
55
11

Y2
Y*
e=Y-Y*
e2
1,56
-1,1
2,35 5,5225
25
6,25-1,25 1,5625
126,56 13,6
-2,35 5,5225
400
20,95 -0,95 0,9025
930,25 28,3
2,2
4,84
1483,3
68
0
18,35
296,67 13,6
0
3,67

XY
1,25
10
33,75
80
152,5
277,5
55,5

S XY 1/5∑ XY - X Y55,5 - (3 × 13,6) 14,7
=
=
=
= 7,35
2
S2
1/5∑ X 2 − X 2
11 − 3 2
X

a = Y - b X = 13,6 - 7,35 × 3 = - 8,45
Y* = -8,45 + 7,35 X
Bondad del Ajuste:
2

Coeficiente de determinación: R = r2
XY

=

S2 *
Y
2
Y

S

= 1-

S 2 = 1/5∑ Y 2 − Y 2 = 296,675 - 13,6 2 = 111,715
Y
S e = ECM1
2

∑e
=
N

2

= 3,67

1

S2
e
S

2
Y

= 1-

3,67
= 0,9671111,715

2.- Ajuste de una función parabólica: Y* = a + b X + c X2

Σ
1/5Σ

X
1
2
3
4
5
15
3

X2
1
4
9
16
25
55
11

Y
1,25
5
11,25
20
30,5
68
13,6

X3
1
8
27
64125
225

X4
1
16
81
256
625
979

X2Y
Y* e=Y-Y*
e2
1,25 1,18 0,07 0,0049
20
5,11 -0,11 0,0121
101,5 11,32 -0,07 0,0049
320 19,81 0,19 0,0361
762,5 30,58 -0,08 0,0064
1205
68
00,0644
13,6
0
0,0128

XY
1,25
10
33,75
80
152,5
277,5
55,5

Aplicando el método de los mínimos cuadrados se obtiene el siguiente sistema de
ecuaciones:

∑ Y = Na + b ∑ X + c ∑ X
∑ XY =a∑ X + b∑ X + c ∑ X
∑ X Y = a ∑ X + b∑ X + c ∑ X

2

2

2

3

2

3

4

⎫
⎪
⎬
⎪
⎭

⇒

68 = 5a + 15b + 55c ⎫
⎪
277,5 = 15a + 55b + 225c ⎬
1205 = 55a + 225b + 979c ⎪
⎭...