relaciones en mates discretas

Unidad 3. Relaciones, funciones, permutaciones y combinaciones


En las áreas de estudio de tecnologías de información y comunicaciones, es importante estudiar las relaciones de tipo matemático porque permite valorar la correspondencia que existe de los elementos entre sí. Además, en esta área de estudio es fundamental el conocimiento de las relaciones entre los diferentes elementos debido aluso de algoritmos de tipo discreto de acuerdo a la profesión.
 
La formulación de relaciones es fundamental para elaboración de bases de datos, diseños de tipo digital y redes computacionales, por mencionar algunos ejemplos, por lo que se denota la importancia de aprender esta parte matemática. En la presente unidad se definirán los diferentes tipos y características de éstas; aunado alentendimiento de las técnicas de conteo, en especial de permutaciones y combinaciones, ya que facilitan contabilizar diversos eventos, lo cual es complicado cuando no se usa alguna de las técnicas mencionadas.
3.1. Representación de una relación
Es importante que, cuando relacionamos elementos de distintos conjuntos, podamos expresar esta relación utilizando elementos gráficos o matrices. Estas formasde expresar las relaciones tienen su mayor aplicación en el área de cómputo.
3.1.1. Definición de relación
 
Existen diferentes tipos de relaciones que dependen del campo de aplicación; por ejemplo, en la realidad que nos circunda existen relaciones de parentesco, amistad, laborales, diplomáticas, económicas, por mencionar algunos ejemplos.
En el ámbito matemático existen, por ejemplo, engeometría las relaciones entre figuras; también para el caso del álgebra y cálculo  las relaciones entre variables son importantes; ocurre lo mismo para los conjuntos debido que también se maneja la relación de subconjuntos. Hasta el momento no hemos definido la palabra relación; sin embargo, sin una definición formal es difícil responder a preguntas sobre relaciones como ¿qué se quiere dar a entendercuando se dice que dos relaciones aparentemente diferentes son iguales?
Una relación es un conjunto de pares ordenados donde a cada uno de los miembros de un conjunto se asigna con los miembros de otro conjunto.
En el área de estudio de las matemáticas es elemental la relación que existe entre las variables o elementos, por lo tanto debe estudiarse de forma científica, es decir, por medio deciertos procedimientos para lograr su entendimiento.
Una forma de explicar implícitamente una relación está en la siguiente expresión:
Dados los conjuntos E1, E2,..., En, la relación R sobre E1 × E2 ×· · ·×En  es algún subconjunto del producto cartesiano, es decir:
x x………..x
Donde:
1.-  R es relación vacía si es igual a cero.
2.- R es relación universal, si es igual a x x………..x
3.- R es unarelación n-aria sobre E si
Y si n es igual a 2, entonces R es una relación de tipo binaria y en caso de ser igual 3, es una relación ternaria.
 
3.1.2. Matriz de relación
Una matriz es un arreglo rectangular que representa la correspondencia, es decir la relación, que es R de A y B. Se representan los renglones con elementos de A y las columnas que etiquetan los elementos de B.
Ejemplos:Formar la matriz de relación de los siguientes conjuntos:
1.    R = {(5, f), (5, h), (6, g), (7, g), (7, f), (8, e)}
Donde A=  y B= , y si el orden respectivo es 5, 6, 7,8 y e, f, g, h se obtiene la siguiente matriz:

  Las columnas son las letras y los renglones son los números. Es decir, la columna 1 es la letra e; la columna 2, letra f; columna 3, letra g; columna 4, letra h. El renglón 1 es elnúmero 5; renglón 2, número 6; renglón 3, número 7; renglón 4, número 8.
Las columnas son las letras y los renglones son los números. Es decir, la columna 1 es la letra e; la columna 2, letra f; columna 3, letra g; columna 4, letra h. El renglón 1 es el número 5; renglón 2, número 6; renglón 3, número 7; renglón 4, número 8.
 
2.    Si C=  y D=  y su orden es 6,7,8 y 1,2,3,4; pero cumpliendo...