Relaciones Matemáticas discretas

TECNOLÒGICO DE ESTUDIOS
SUPERIORES DE COACALCO
Alumno: José Eduardo Meza Gallardo

Trabajo de investigación:
1. Producto cartesiano

2. Relación binaria y la forma de representar una relación.

3. Clases de equivalencia.

1.

Producto cartesiano

Para entender la idea de producto cartesiano debemos saber que
se trata de una operación entre dos conjuntos, de tal modo que se
formaotro conjunto con todos los pares ordenados posibles.
Por ejemplo, dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b}, su
producto cartesiano es:
A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (4, a), (4, b)}
Los elementos de A x B son pares ordenados. Cada par que se
forma con un elemento del conjunto A y uno del conjunto B, en ese
orden, recibe el nombre de par ordenado. Suselementos se
colocan entre paréntesis, separados por coma.
Entonces:
El producto cartesiano de dos conjuntos cualesquiera A y B, será un
nuevo conjunto, identificado como A x B, y consistirá de un conjunto
de parejas ordenadas, (x, y), donde x pertenece al conjunto A
e y pertenece al conjunto B.
Como ejemplo:

También podríamos decir que un par ordenado es una colección
de dos objetosdistinguidos como primero y segundo, y se denota
como (a, b), donde a es el "primer elemento" y b el "segundo
elemento".
El producto cartesiano recibe su nombre de René Descartes, cuya
formulación de la geometría analítica dio origen a este concepto.

Representación gráfica de un producto cartesiano
Los pares ordenados representarán puntos coordenado en
el plano cartesiano, tomando como primeracoordenada un
elemento del primer conjunto, y como segunda coordenada a un
elemento del segundo conjunto, independientemente que sean
números u otras entidades.

2. Relaciones binarias
Llamamos relación binaria a la relación R existente entre dos
elementos a y b, de dos conjuntos A y B respectivamente. Indicando
que el elemento a está relacionado con b. Esta relación se puede
denotar dediversas formas:
1- Como pares ordenados (a, b).
2- Indicando que aRb.
3- Como una mezcla entra los dos anteriores R(a,b).
Al conjunto de todos los elementos relacionados mediante la
relación R en un conjunto lo denotamos como R(M)
Está relación dependiendo del conjunto puede referirse a cualquier
concepto referido con el conjunto.
Ejemplo: Sea el conjunto A={el conjunto de los númerosnaturales},
una relación binaria del conjunto de A sobre sí mismo puede ser,
R= ser múltiplo de.
De tal forma que, por ejemplo 4 está relacionado con 2 (es decir, 4
es un múltiplo de 2), por tanto escribimos 4R2 o (4,2).
En el caso de no estar relacionados escribiremos a no está
relacionado con b tachando la R. Un ejemplo de dos elementos que
no están relacionados con esta relación son 3 y 5.Observación: El conjunto R(AxB) de todos los elementos que están
relacionados es un subconjunto del producto cartesiano AxB.

FORMAS DE REPRESENTACIÓN

Para representar las relaciones binarias podemos utilizar dos tipos
de gráficos:
a) El diagrama cartesiano: donde representaremos los ejes
cartesianos, y en cada eje los elementos de cada conjunto.
Representaremos las relaciones pormedio de puntos (si el eje es
similar al eje de coordenadas) o por medio de cruces si lo
representamos mediante cuadrículas.
b) Diagrama sagital o flechas (mediante diagramas de Venn):
representaremos los elementos del conjunto dentro del círculo y
representaremos las relaciones mediante flechas.
Ejemplo: Representar la siguiente relación:
R(M)={(a,b), (b,c), (d,b)}
a) Lo representaremos enprimer lugar utilizando el diagrama
cartesiano, en este caso utilizando la cuadrícula:

b) Utilizando el diagrama sagital, (la punta de la flecha indica la
dirección de la relación):

PROPIEDADES DE LAS RELACIONES BINARIAS

Las relaciones binarias pueden cumplir las siguientes propiedades
(no tienen por qué cumplir todas, pueden cumplir sólo algunas e
incluso ninguna). Dado el conjunto...