Relaciones

5.1 Concepto De Relación

Dados dos conjuntos A y B, el producto cartesianos de estos dos conjuntos es el conjunto formado por todos los pares ordenados (a,b) donde a es un elemento de A y b es un elemento de B.


Relación
Dados dos conjuntos A y B una relación es un subconjunto del producto cartesiano A x B.
Un elemento a, que pertenece alconjunto A, está relacionado con un elemento b, que pertenece al conjunto B, si el par (a, b) pertenece a un subconjunto G (llamado grafo) del producto cartesiano A x B.

Ejemplo: Sean A = {a, b, c} y B = {1, 2} dos conjuntos. El producto cartesiano A x B = {(a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)}. Una relación sería R = {(a,1),(c,2)}.

A las relaciones también se les llama correspondencias.5.1.1 Producto cartesiano

Considere dos conjuntos arbitrarios A y B. El conjunto de todas las parejas ordenadas (a, b) en donde a ∈ A y b ∈ B se llama producto o producto cartesiano de A y B.
La definición de producto cartesiano puede extenderse fácilmente al caso de más de dos conjuntos.
Se llama producto cartesiano de dos conjuntos A y B y se representa A x B, al conjunto de paresordenados (a, b), tales que el primer elemento pertenece al primer conjunto y el segundo elemento al segundo conjunto. Es decir:
A x B = {(a, b) / a ∈ A, b ∈ B} El producto cartesiano, en general, no es conmutativo. Es decir: A x B ≠ B x A.
Puede ocurrir que los conjuntos A y B sean coincidentes.


EJEMPLO:

Si A = {a, b, c} y B = {1, 2, 3, 4}, el producto cartesiano es:

A x B = {(a, 1),(a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)}
Se puede representar gráficamente por medio de puntos en un plano, como se muestra a continuación. Aquí, cada punto P representa una pareja ordenada (a, b) de números reales y viceversa; la línea vertical a través de P encuentra al eje x en a, y la línea horizontal a través de P encuentra el eje y en b.A esta representación se le conoce como diagrama cartesiano.










Hay otra manera de visualizar una relación y es a través de una representación gráfica, donde se destaquen los puntos en el plano que pertenecen a A y los puntos que pertenecen a B. Se trazan flechas que indican la relación que existe entre cada elemento del conjunto A y su correspondiente en el conjunto B. Aesta representación gráfica se le conoce como un diagrama de flechas.

5.1.2 Relación Binaria

La relación binaria definida en un conjunto A es un subconjunto del producto cartesiano A x A.


EJEMPLO:

Sea el conjunto A = {x, y, z}. El grafo de la siguiente figura representa una relación binaria definida en A, puesto que los pares (x, z), (y, x) (y, y) constituyen un subconjunto de A xA.



Se dice que dos elementos a y b están relacionados, y se escribe a R b, “a está relacionado con b mediante la relación binaria R”, cuando el par ordenado (a, b) pertenece al subconjunto del producto cartesiano que define la relación.
Si dos elementos a y b no están relacionados mediante R en algún sentido, escribiremos a R b o b R a o ambas cosas.

Propiedades de una relaciónbinaria

Las principales propiedades que puede presentar una relación binaria R definida en un conjunto A se indican en la siguiente tabla, junto con sus respectivas condiciones.



5.1.3 Representación De Relaciones
(Matrices, Conjunto, Grafos, Diagrama de flechas)

Los ejemplos de relaciones que más se presentan en el área de la computación son aquellas que están definidas sobreconjuntos finitos. En esta sección se trataran dos formas de representar dichas relaciones y su uso para poder identificar las propiedades vistas en la sección anterior.


Representación De Relaciones Usando Matrices
Un método para el estudio de las relaciones de manera algorítmica es utilizando matrices compuestas de ceros y unos.

Sean A y B...