Repaso de algebra

I) CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS

NATURALES
Los primeros números que aprendemos en nuestra vida son los números naturales son los que usamos para contar; uno, dos, tres, cuatro, etc. El hombre primitivo solo necesitó algunos cuantos números, los cuales represento mediante marcas en huesos o madera.
N = {1, 2, 3, …}

ENTEROS
Los números enteros son cualquier elemento del conjuntoformado por los números naturales y sus opuestos. El conjunto de los números enteros se designa por Z, en honor a Ernet Friedrich Zermelo[1]
Z = { … , -2, -1, 0, 1, 2, 3, … }
Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las temperaturas superiores o inferiores a 0grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo).
Las operaciones suma, resta y multiplicación de números enteros son operaciones internas porque su resultado es también un número entero. Sin embargo, dos números enteros sólo se pueden dividir si el dividendo es múltiplo del divisor.

RACIONALES
Los números racionales (Q[2]) son los se puede expresarcomo cociente de dos números enteros. El término "racional" hace referencia a una "ración" o parte de un todo. El conjunto Q de los números racionales está compuesto por los números enteros y por los fraccionarios. Los números enteros son racionales, pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad: [pic]. Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios.
[pic]Se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir (salvo por cero) y el resultado de todas esas operaciones entre dos números racionales es siempre otro número racional.
Así como en el conjunto Z de los números enteros cada número tiene un siguiente (el siguiente al 7 es el 8, el siguiente al -5 es el -4), no pasa lo mismo con los racionales, pues entre cada dos números racionales existeninfinitos números.
Los números racionales sirven para expresar medidas, ya que al comparar una cantidad con su unidad el resultado es, frecuentemente, fraccionario.

EJEMPLOS

Algunos números racionales

1) [pic]
2) Cualquier número natural o entero.
3) Cualquier expansión decimal finita ( 1.2, 3.23, 5.8891
4) Cualquier expansión decimal infinita y periódica ( [pic], [pic]
5)Convertir la expansión decimal finita a fracción.
***0.234
Si le asignamos una variable al número fraccionario que se desea encontrar x (por ejemplo), ambos lados de la igualdad se multiplican por 1000 (por que el decimal con el que se trabaja es de tres números a la derecha del punto) y por último se despeja la x simplificando si es que se puede.

***3.1589
[pic]

La representacióngeneral de una expansión decimal finita a fracción es:
[pic]

6) Convertir la expansión decimal infinita periódica a fracción.
Transformación de decimal infinito periódico a fracción

Los pasos a seguir son los siguientes:

1) Se anota el número y se le resta él o los números que están antes del período (de la rayita)

2) Se coloca como denominador un 9 por cada número que está en elperíodo (si hay un número bajo la rayita se coloca un 9, si hay dos números bajo el período se coloca 99, etc.). Si se puede simplificar, se simplifica.

***0.123123123…= [pic] ***2.666…=[pic]
[pic] [pic]

***57.18181818…=[pic]

[pic]

Transformación de decimal infinito semiperiódico a fracción

1) El numerador de la fracción se obtiene, al igual que en elcaso anterior, restando al número la parte entera y el anteperíodo, o sea, todo lo que está antes de la “rayita”.

2) El denominador  de la fracción se obtiene colocando tantos 9 como cifras tenga el período y tantos 0 como cifras tenga el anteperíodo. Como siempre, el resultado se expresa como fracción irreductible (no se puede simplificar más).

***2.466…=[pic] ***0.12577887788…=[pic]...