Repaso De Algebra

CAPÍTULO 1
Repaso de álgebra
1.1)

Subconjuntos de IR

Iniciamos el estudio del conjunto de los Números Reales con el Conjunto de los Números
Naturales, que se denota simbólicamente con la letra IN, en general, podemos decir que uno de
los usos más frecuentes de los números naturales es el de “contar”.
IN = { ,2,3,4,....}. Así, IN ⊂ IR, que se lee el Conjunto de los Números Naturales es1
subconjunto del Conjunto de los Números Reales.

Este conjunto cumple las siguientes propiedades:

Es infinito.
Tiene primer elemento que es el 1, pero no tiene último elemento.
Es ordenado, dado que es posible establecer una relación de orden.
Es discreto, dado que entre dos números naturales consecutivos no existe otro número
natural.

Otro subconjunto del Conjunto de los NúmerosReales es el Conjunto de los Números Enteros,
que se denota simbólicamente con la letra Z.
Z = {...,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,...}, es decir Z = Z − U {0}U Z + .

Además, IN ⊂ Z ⊂ IR, que se lee el Conjunto de los Números Naturales es subconjunto
del Conjunto de los Números Enteros y este a su vez es subconjunto del Conjunto de los
Números Reales. Este conjunto cumple las siguientes propiedades:Notas para el Curso MA-0230 Matemática para Ciencias Económicas I
N. Figueroa & V. Ramírez

Es infinito.
No tiene primer elemento ni último elemento.
Es un conjunto ordenado, es decir se puede establecer una relación de orden.
Es un conjunto discreto, es decir entre dos números enteros consecutivos no existe otro
número entero.

El otro subconjunto del Conjunto de los Números Realeses el Conjunto de los Números
Racionales que se representa simbólicamente con la letra Q y se escribe por comprensión de la
siguiente forma:
a

Q =  / a ∈ Z , b ∈ Z, b ≠ 0 . Así, IN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ IR, que se lee el Conjunto de los
b

Números Naturales es subconjunto del Conjunto de los Números Enteros subconjunto del
Conjunto de los Números Racionales subconjunto del Conjunto de losNúmeros Reales.

Este conjunto cumple las siguientes propiedades:
Es infinito.
Es ordenado dado que se puede establecer una relación de orden.
Es denso, ya que siempre es posible determinar un número racional entre dos números
racionales dados.

En general, un número racional es aquel número que tiene una expansión decimal finita, como
por ejemplo

5
−7
= 2,5 o infinita periódica, porejemplo
= - 0,58333... .
2
12

Por último, tenemos el Conjunto de los Números Irracionales que también es un subconjunto
del Conjunto de los Números Reales, y se denota simbólicamente por la letra II. Este conjunto
no es posible escribirlo como un conjunto por comprensión, como es el caso del Conjunto de
los Números Naturales y del Conjunto de los Números Enteros, ni por comprensión, como enel caso del Conjunto de los Números Racionales.
7

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N. Figueroa & V. Ramírez

Este conjunto se define, como el conjunto formado por todos aquellos números que tienen una
expansión decimal infinita y no periódica, como por ejemplo 2 , 3 5 , π , e, entre otros. Así,
tenemos que IN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ IR y por otra parte II ⊂ IR, por loque:
Q U II = IR y Q I II = { }

1.2)

Potencias

Se define a n = a ⋅ 4243 , donde a se llama base y n se llama exponente. El exponente
1a ⋅ a ⋅ .... ⋅ a
n veces

indica las veces que se multiplica la base por sí misma.

Ejemplos
a)

23 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 =8

b)

(− 3)4 =

c)

− 34 = - (3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3) =-81

- 3 ⋅ -3 ⋅ -3 ⋅ -3 =81

Leyes de potencias

am ⋅ an = am+n

(a )mn

= a m ⋅n

a0 = 1
a−n =
m

1
an

a
= am−n
n
a

n

an
a
=n
b
b
a

b

−n

n

bn
b
=  = n
a
a

m

a n = n am

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N. Figueroa & V. Ramírez

Ejemplos

a)

23 ⋅ 2 5 ⋅ 2 = 2 9

c)

(3x y )

1.3)

Expresiones Algebraicas

4

22

b)

− 96 ÷ −93 = −93...