Resoluci n de sistemas

Resolución de sistem as
de ecuaciones lineales
por m étodos num éricos

Villar Lases Arely
Concepción.
Métodos numéricos I.
Prof. Jorge Villanueva

Para resolver un sistema lineal estánpermitidas
tres operaciones en las ecuaciones:
I.

La ecuación Ei puede multiplicarse por
cualquier constante λ diferente a cero y
se puede usar la ecuación resultante en
lugar de Ei . Esta operación sedenotará
por (λ Ei)
(Ei).

II. La ecuación Ej puede multiplicarse por

cualquier constante λ, sumarla a la
ecuación Ei, y usar la ecuación
resultante en lugar de Ei. Esta

III. Las ecuacionesEi y Ej se pueden

intercambiar. Esta operación se
denotará por (Ei)
(Ej).
Ejemplo A:
Se resolverán las cuatro ecuaciones
E1:
X1 + X2
+ 3X4 = 4,
E2: 2X1 + X2 - X3 + X4 = 1,
E3: 3X1 - X2 - X3 + 2X4= -3,
E1: -X1 + 2X2+ 3X3 - X4 = 4,

Su  representación matricial es:

 

[A,b]
=

Para las incógnitas X1, X2, X3, X4. El primer
paso es usar la ecuación E1 para eliminar la
incógnita X1 deE2, E3, E4 efectuando (E2 2E1)
(E2), (E3 - 3E1)
(E3) y (E4 +
E1)
(E4). El sistema resultante es:
E1:
E2:
E3:
E1:

X1 + X2
+ 3X4 = 4,
- X2 - X3 - 5X4 = -7,
- 4X2 - X3 - 7X4 = -15,
+ 3X2 + 3X3 -2X4 =8,

En el nuevo sistema, se usa E2 para eliminar
X2 de E3 y E4 por medio de las operaciones

(E3 - 4E2)
(E3) y (E4 + 3E2)
resultando el sistema:
E1:
E2:
E3:
E1:

(E4)

X1 + X2
+ 3X4 = 4,
- X2 -X3 - 5X4 = -7,
+ 3X3 + 13X4 = 13,
- 13X4 = -13,

El sistema de ecuaciones está ahora en
forma triangular o reducida y puede
resolverse fácilmente para encontrar las
incógnitas por un proceso desustitución
hacia atrás.

Notando
que E4 implica que X4 = 1, E3 puede
  
resolverse para X3:
E3: X3 = (13 – 13 X4) = (13 – 13) = 0;
E2: X2 = - (-7 + 5 X4 + X3) = - (-7 + 5 + 0)
= 2;
E1: X1 = (4- 3 X4 - X2) = (4 - 3 - 2) = -1.
Por lo tanto la solución es:
X1 = -1, X2 = 2, X3 = 0 y X4 = 1.
Se puede verificar fácilmente que estos valores
son también solución de las ecuaciones.