RESOLUCIÓN NUMÉRICA Y ANALÍTICA DE LA ECUACIÓN DE TRANSMISIÓN DE CALOR.

Ingeniería Térmica – 3er curso del grado en Ingeniería Química – Universidad Complutense de Madrid

PRÁCTICA IT- 1 : RESOLUCIÓN NUMÉRICA Y ANALÍTICA DE LA
ECUACIÓN DE TRANSMISIÓN DE CALOR.
A. Risco, N. Rojas, M. Romero, E. Romero y A. Ruiz
Asignatura: Ingeniería Térmica
Profesor responsable: Eduardo Díez Alcántara
Facultad de Ciencias Químicas
Universidad Complutense de Madrid

Palabrasclave: potenciales, temperaturas, balance energético.
Resumen. El objetivo de esta práctica es resolver la ecuación de conducción de calor
numérica y analógicamente, y comparar los resultados obtenidos suponiendo régimen
estacionario y generación nula.
Para el método analógico medimos experimentalmente la diferencia de potencial entre
nodos de una red representativa de 1/4 de chimenea dehumos.
El método numérico lo realizamos con un programa de simulación (Matlab).
Comparando los resultados (desviación con respecto al balance de energía, que
suponemos que se cumple) para el método analógico obtenemos un valor de 71,8 y para
el numérico 13,5. Por tanto identificamos el método numérico como el más preciso.
Abstract. The aim of this practice is the resolution of the heatconduction equation
through numerical and analogue methods. The obtained results in both methods will be
compared afterwards.
In the analogue procedure, electric potential differences between nodes of a net that
represents a quarter of a rectangular chimney are measured and nodes temperatures are
calculated from these values.
The numerical method consists in running a simulation programme (Matlab) toobtain the
temperature gradient.
The deviation from the corresponding energy balance calculated in the analogical and
numerical methods are 71,8 and 13,5, respectively. Hence, the simulation is more
accurate.

A. Risco, N. Rojas, M. Romero, E. Romero y A. Ruiz

1. INTRODUCCIÓN Y OBJETIVO
La ecuación de conservación de conducción de calor en un sólido viene dada por:
!"

𝐾 · ∇! 𝑇 + 𝐺= 𝜌 · 𝐶! ·

(1)

!"

Donde:

K:conductividad térmica del sólido
G:generación de calor en cada punto del sólido
ρ:densidad del material
Cp:calor específico
𝐾 · ∇! 𝑇:calor transmitido por conducción en todas direcciones, desde un punto
cualquiera medido por unidad de tiempo y de volumen sólido
!"
𝜌 · 𝐶! · !" :cantidad de calor acumulado en dicho punto por unidad de volumen y
tiempo.En los problemas de transmisión de calor se pretende
temperaturas en el sólido

determinar la distribución de

𝑇 = 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)

(2)

la cantidad de calor que pasa a su través en un intervalo de tiempo dado
𝑄 = −𝑘 · 𝐴 · ∇𝑇

(3)

o ambas a la vez.
El sistema considerado es un cuerpo sólido, homogéneo e isótropo como refleja la figura 1.

2

A. Risco, N. Rojas, M. Romero, E.Romero y A. Ruiz

Suponemos: Ti y Te temperaturas de las superficies límites del cuerpo, longitud del cuerpo
muy grande respecto a las dimensiones transversales y régimen de conducción estacionario.
Eligiendo un sistema de ejes coordenados rectangulares con origen en el centro del cuerpo
suponemos G=0 y conducción bidireccional(x,y), llegando finalmente:
𝑘·

!! !
!! !

!! !

+ !! ! = 0(4)

Existen tres métodos para resolver la ecuación(1): analíticos (idóneos aunque no siempre es
posible la integración de una ecuación diferencial), numéricos (menos precisos pero siempre
posibles y útiles) y analógicos (medida directa de las variables pero precisión limitada por el
tipo de aparatos de medida y simulación).
Resolveremos la ecuación con el método de diferenciación porincrementos finitos
(numérico), subdividiendo el sistema en un número finito de pequeñas regiones, con su centro
(nodo)como punto de referencia. Aplicaremos el método del balance de energía, que aplica
la ecuación de conservación de energía a un elemento de volumen de la región nodal
suponiendo un flujo de calor de fuera hacia dentro del nodo(imposible).

Considerando la figura 2 la ecuación...