Respuesta En Frecuencia

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Capítulo 9

Respuesta en frecuencia
9.1. Función de transferencia
El análisis de redes sometidas a una excitación sinusoidal en estado estacionario permite estudiar problemas que ocurren frecuentemente en la generación, transmisión, distribución y utilización de la energía eléctrica. Sin embargo en estudios de ingeniería electrónica interesa conocer como una red altera la amplitud y fasede un conjunto de señales sinusoidales de diferentes frecuencias. De esta forma podrán conocerse las propiedades de algunas redes para enfatizar ciertos rangos de frecuencias o de rechazar o atenuar otros.

e(f) e f1 f2 Filtro r

r(f)

f1
Figura 9.1 Múltiples frecuencias.

f2

La Figura 9.1 ilustra una red a la cual ingresan dos señales sinusoidales de frecuencias f1 y f2. Suponemosque la señal útil es la de frecuencia f1 y que la componente de frecuencia f2 se ha producido, debido a no linealidades en la red que genera la señal e. Entonces la señal indeseada puede removerse introduciendo la excitación en una red, denominada filtro en la Figura 9.1, tal que la ganancia a frecuencia f2 sea mucho menor que la ganancia a frecuencia f1. Si bien se ha ilustrado el cambio deamplitud, en función de la frecuencia, también interesa el cambio de fase, en función de la frecuencia, que se produce en las señales que pasan a través de la red. Un cambio de fase implica cambios en el tiempo que podrían afectar la información que pasa por el filtro. Si todas las frecuencias que pasan por la red, son cambiadas en un ángulo de fase proporcional a la frecuencia, la salida estarádesfasada en tiempo, pero mantendrá la misma forma de onda de la entrada. Esto considerando que no cambian las amplitudes. Se dará una breve justificación de lo anterior en 9.9. Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008

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Teoría de Redes Eléctricas Cuando la excitación de una red lineal e invariante en el tiempo es una señal sinusoidal:

e(t )  sen(t )

(9.1)

La respuesta en estado estacionariotambién será sinusoidal, de igual frecuencia pero tendrá amplitud y fase diferentes:

r (t )  A()sen(t  ())

(9.2)

Si la excitación tiene magnitud unitaria y fase cero, las funciones A() y () se denominan respuesta en frecuencia de la red, y dependen de la frecuencia angular. Estas funciones suelen representarse en diagramas denominados espectros, porque se representan en función de lafrecuencia angular. Si consideramos la excitación y la respuesta como exponenciales complejas, el cuociente entre la transformada fasorial de la respuesta y la transformada fasorial de la excitación, puede expresarse como un cuociente de polinomios en j. Este cuociente se denomina función de transferencia H(j). En un caso general, se definen las funciones Ganancia A y Ángulo de fase  según:A( )  H ( j )  ( )  180º

(9.4)



arg( H ( j ))

Para poder representar grandes variaciones de la frecuencia, en un mismo diagrama, se elige escala logarítmica para la frecuencia. En diagramas de Bode la cantidad:

20log( A())
Se denomina Ganancia y se expresa en decibeles (dB). Esta elección permite observar grandes cambios de la amplitud en el mismo diagrama.

(9.3)

Lafunción () se denomina Ángulo de fase, y la ordenada se representa en grados en los diagramas de Bode.

Ejemplo 9.1.
Sea (9.5) la ecuación diferencial que relaciona la excitación e(t) con la respuesta r(t):

Leopoldo Silva Bijit

27-06-2008

Capítulo 9. Respuesta en Frecuencia

3 (9.5)

d 2 r (t ) dr (t ) 2 2  2an  n r (t )  n e(t ) 2 dt dt
Y sean las excitacionesexponenciales complejas:

e(t )  Ee jt r (t )  Re jt
Si se reemplaza (9.6) en (9.5), se obtiene:
2 2 R( j )( j )e jt  2an R( j )e jt  n Re jt  n Ee jt

(9.6)

(9.7)

Formado el cuociente R/E puede definirse la función de transferencia, según:

H ( j ) 

2 n R  2 E ( j )2  2an ( j )  n

(9.8)

Si se efectúa el reemplazo s  j , con j  1 , en (9.8) se...